Solution proposée par Gaston Parrour

A409. Triplets au coude à coude

Neuf nombres premiers distincts sont répartis en trois triplets (a,b,c), (d,e,f) et (g,h,i) tels que a < b < c, d < e <

f et g < h < i.

Les nombres a et d sont jumeaux tandis que b et e sont cousins et que h est sexy avec b comme avec f.

Les trois produits abc, def et ghi, pas nécessairement pris dans cet ordre, constituent un ensemble de trois entiers consécutifs < 2016.

Déterminer ces neuf nombres premiers.

Solution proposée par Gaston Parrour

Donc, puisque tous les nombres premiers sont impairs, sauf le nombre ''2'' , et puisque tous ces nombres sont ici distincts,

→ Un seul de ces trois produits est pair ; les deux autres sont impairs Quel triplet contient ''2'' ?

''2'' est le plus petit des nombres premiers, les relations d'ordre et les relations de ''parenté'' données dans l'énoncé permettent de préciser le triplet qui le contient. En effet :

si a(ou d) = 2 → d(ou a) = 4 non premier

==> g = 2 (Res1) Excursion en ''h''

Donc ghi = 2hi est le produit médian (encadré par deux impairs abc et def) Cela signifie 2hi < 2015 soit hi ≤ 1007

h et i sont des nombres premiers et h < i , donc h ≤ sqrt (1007) = 31,73 …

Puisque h est sexy avec un nombre différent de g = 2, le plus petit impair étant ''3'' : h ≥ ''3''+6 =9

Donc le nombre premier h satisfait à

==> 11 ≤ h ≤ 31 (Res2) → Avant de procéder à un balayage sur le nombre premier h dans cet intervalle :

2 – Position de h par rapport à b et à f avec lesquels il est sexy

si h = b – 6 alors h = f + 6 ( puisque f et b distincts) donc f < h (1) Avec h = b – 6 et en utilisant le ''cousinage'' :

si e = b + 4 → h = e – 10 si e = b – 4 → h = e – 2 ,

donc h = b – 6 → h < e (2) OR l'énoncé précise e < f donc les relations (1) et (2) sont incompatibles avec ceci si h = b + 6 alors h = f – 6 → h < f (1') Avec h = b + 6 , le ''cousinage'' de b et e conduit à

e = b + 4 → h = e + 2 e = b – 4 → h = e + 10 ,

donc h = b + 6 → e < h (2') et les relations (1') et (2') sont compatibles avec e < f

Donc

==> h = b + 6 h = f - 6 (Res3) 3 – Les relations de jumelage et de cousinage corrèlent ces nombres premiers

SAUF ''2'' et ''3'' ,

→ tout nombre premier est de la forme 6m +/- 1 Alors

avec les jumeaux a et d (distants de 2)

si a = 6m+1 d = 6m-1 (car d' = 6m + 3 n'est pas premier d'emblée) , et de même si a = 6m-1 d = 6m+1 (Res4)

avec les cousins b et e (distants de 4)

si b = 6m'+1 e = 6m'+5 (car e' = 6m' -3 non premier d'emblée)) , et de même

si b = 6m'-1 e = 6m'-5 (Res5) 4 – Balayage sur le nombre premier h dans l'intervalle défini en (res2) ==> [11, 31]

h = 31

(Res3) → b = h – 6 = 25 non premier h = 29

(Res3) → f = b + 6 = 35 non premier h = 23

(Res3) → b = h – 6 = 17 b = 6m'-1 avec m' = 3 f = h + 6 = 29

(Res5) → e = 6m'-5 = 13

Il reste ici à déterminer a b c et i → On sait que le produit def < 2016

Donc d < 2016/(13.29) d < 5,344 … → d = 5 ou d = 3 Il y a a priori deux possibilités :

d = 3 et alors nécessairement son jumeau a = 5 cas 1 d = 5 il y a deux jumeaux possibles a = 3 et a = 7 cas 2 cas 1 d = 3

avec cela a-t-on def = ghi + 1 soit 3.13.29 = 2.23.i + 1 ? → i = 24,56 … non entier premier def + 1 = ghi soit 3.13.29 + 1 = 2.23.i ? → i = 24,60 … '' '' '' cas 2 d = 5

alors def +1 = ghi soit 5.13.29 +1 = 2.23.i admet la solution i = 41 entier premier (def = ghi + 1 n'a donc pas de solution entière en i)

A ce stade on a donc obtenu def < ghi , par conséquent

abc = ghi + 1 (3) Ce résultat est lié à d = 5 conduit alors à :

→ Le nombre premier d a alors deux jumeaux possibles a = 3 et a = 7 L'égalité (3) à vérifier est alors,

pour a = 3 3.17.c = 2.23.41 + 1 → c = 37 entier premier pour a = 7 7.17.c = 2.23.41 + 1 où c est non entier (c = 15, …)

N.B. On vérifie directement, en poursuivant le balayage en h, que les valeurs restantes permises a priori h = 19 h = 17 h = 13 et h = 11

ne fournissent pas une autre solution : Pour h = 19 , on a f = 25 , non premier.

Pour h = 11 , b = 5 et avec (Res5) b = 6m' -1 → e = 6m'-5 donc e = 1 non premier

Pour h = 17 et h = 13 , comme ci-dessus, après avoir déterminé les valeurs possibles de d (en définitive 3 ou 5) , on poursuit jusqu'au calcul de ''i'' .

Alors, quelles que soient les situations considérées (def = ghi +/- 1), → ''i'' est un nombre non entier Conclusion : la solution répondant aux contraintes de l'énoncé est

a = 3 b = 17 c = 37 d = 5 e = 13 f = 29 g = 2 h = 23 i = 41

avec def = 1885 ghi = 1886 abc = 1887