D1807. Le square de Pythagore
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrialatère MDET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côté BC.
D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.
E est la projection de B sur la bissectrice AD
T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Solution proposée par Gaston Parrour
Les données de l'énoncé sont indiquées sur la figure.
a , b et c désignent les longueurs respectives de BC CA et AB Le point B1 est l'intersection de la droite BE et du côté AC
On se propose de montrer que P est équidistant de D et de T → DP = TP
1 – Le théorème de Ménélaüs s'applique au triangle BTD coupé par la droite sécante MPE
DM/MB x BE/ET x TP/PD = 1 (1) → On se propose d'exprimer les divers rapports qui apparaissent ci-dessus dans (1)
2 – Le triangle ABB1 dans lequel la hauteur AE est aussi bissectrice , est isocèle de sommet A ==> E est le milieu de BB1 et AB1 = AB = c
Donc dans le triangle CBB1 :
la droite des milieux ME a pour longueur ME = B1C/2 = (b -c) / 2 (ici b > c) et ME est parallèle à AC
Avec ce dernier point → angle en E DEM = angle BAC / 2 d'où et donc angle MET = Pi/2 – (angle BAC / 2)
Puisqu'en T les angles opposés par le sommet sont égaux, ==> le triangle ETM est semblable au triangle B1TA Cela conduit à la proportionnalité des côtés correspondants : TA/TM = AB1/ME = TB1/TE Avec les longueurs de AB1 et de ME données ci-dessus :
TB1/TE = 2c/(b-c) d'où BE/ET = EB1/ET = (ET+TB1)/ET = 1 + 2c/(b-c)
→ BE/ET = (b+c)/(b-c) (2) A
B C
E T
D M
P
c B1
b
a
3 - D est le pied de la bissectrice intérieure issue de A donc DB = kc et DC = kb et avec BD + DC = a le coefficient k est k = a/(b+c)
On a donc DM = BM – BD = a/2 – ac/(b+c) soit DM = (a/2)(b-c)/(b+c)
→ DM/MB = (b-c)/(b+c) (3) Ces expressions (2) et (3) reportées dans (1) conduisent à
TP/PD = 1
==> Le point P où se place la statue de Pythagore est équidistant des points où sont placées celles de Thalès et de Diophante
