A639. Multi-partitions
Soit un entier n ≥ 3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser une partition de E en deux sous- ensembles de même somme avec l’un des sous-ensembles de cardinal m.
Application numérique : trouver le plus grand entier n tel que les deux éléments extrêmes de E sont égaux à 1 et 2021.
Solution proposée par Gaston Parrour
Les 2n éléments distincts de E2n sont notés x1 < x2 < x3 < … < x2n et n > 2
→ puisque m = 2,3, … ,n parmi les partitions possibles de E2n , les (n-1) égalités à satisfaire sont : 2 éléments xi, xj vérifient xi+xj = Sij (xk) où Sij somme pour k = 1 à 2n, exceptés k=i et k=j (1) 3 éléments vérifient xp+xq+xr = Spqr (xk) Spqr somme pour k = 1 à 2n, exceptés k=p , k =q et k=r (2) …
n éléments vérifient somme de n des 2n ''xi'' = somme des n autres ''xj'' restants 1 - On peut construire au moins un ensemble de 2n éléments où ceci est vérifié :
Compte tenu de la relation d'ordre entre les xi, supposons que la relation (1) est satisfaite avec
x2n + xj = Sj2n (xj et x2n ne figurent pas dans la somme de droite) (1) Alors si on peut décomposer xj en la somme xj = xk + xk' avec par exemple xk' < xk < xj (3) on produit l'égalité (2) à partir de cette relation (1) avec
x2n + xk + xk' = Skk'2n (xk xk' et x2n ne figurent pas dans la somme de droite) Ensuite si on peut décomposer xk en une somme de 2 termes xk = xm + xm' avec xm'< xm < xk on a x2n + xm + xm' + xk' = Smm'k'2n
Cela peut se poursuivre si xm peut se décomposer en xm = xp + xp' , etc …
→ A partir de cela on peut préciser un de ces ensembles en se plaçant dans le cas particulier minimal suivant : x2n est associé au plus petit xj possible de façon à satisfaire la suite des relations nécessaires telles que (3) N.B. On désigne dans la suite une telle situation comme ''configuration minimale''
Alors, outre la relation (1), il faut (n-2) autres relations type (3) pour produire les (n-1) égalités souhaitées.
Chaque relation type (3) fait appel à 2 termes, soit en tout 2(n-2) termes inférieurs à xj
==> cela exige, dans une configuration minimale, que xj soit identifié au terme x2n-3 Construction d'un ensemble E2n ''minimal''
Avec ce qui précède, pour 2n éléments rangés selon les inégalités strictes initiales son a donc x2n + x2n-3 = x1+x2+ … + x2n-4 + x2n-2+x2n-1 (a)
x2n-3 = x2n-4 + x1 (b1) x2n-4 = x2n-5 + x2
….
xn+1 = xn + x n-3
xn = xn-1+xn-2 (bn-2)
→ Ces (n-1) égalités fournissent alors les (n-1) égalités demandées [pour m=2 ,3 , …, n ] N.B. (a) et (b1) permettent d'expliciter x2n :
x2n = x2+ … +x2n-5 + x2n-2+x2n-1 (b0) ( à droite ne figurent pas x1 , x2n-4 et x2n-3)
Dans ce qui précède, il apparaît clairement qu'on peut faire des choix arbitraires par exemple pour x1, x2, x3, … , xn-2, xn-1 et pour x2n-2 et x2n-1
Conclusion : A l'aide des relations (bi) (i =1 → n-1) ci-dessus,
==> les ensembles E2n définis à partir de ces arbitraires (et où 0<x1<x2< ...<x2n) répondent à la question E2n = { x1, x2, … , xn-2, xn-1 , xn, xn+1, … ,x2n-3, x2n-2, x2n-1, x2n }
Remarque : A partir d'un ''ensemble minimal'' tel que E2n décrit ci-dessus, on peut obtenir un ensemble E2n ''minimal minimisé'' avec le choix arbitraire x1=1 , x2=2 , x3=3 , … , xn-1 = n-1
et x2n-2 = x2n-3 + 1 x2n-1 = x2n-3 + 2
Exemple d'un tel ensemble E2n ''minimal minimisé'' avec n = 6
→ Les égalités (b0), (b1), .. (bn-1) ci-dessus fournissent les éléments de E12 : E12 = { 1,2,3,4,5 , 9, 12, 14, 15, 16, 17, 68 }
N.B. en rouge les ''xi arbitraires'' , en noir les (n-1) ''xj'' qui en résultent.
La somme des termes de cet E12 est S = 166
Et, par construction de cet ensemble, on a effectivement :
x2n + x2n-3 = 68+15 = 83 = S/2 (= la somme des 10 autres xi) , x2n + x2n-4+x1 = 68+14+1 = S/2 (= la somme des 9 autres xi) , …...
x2n + x1+x2+x3+x4+x5 = x6+x7+x8+x9+x10+x11 = S/2 = 83 2 - Application numérique
On a obtenu ci-dessus :
→ à partir d'une ''configuration minimale'', une configuration plus minimale est celle dans laquelle x1 , x2 , x3 , … , xn-1 est la suite de (n-1) entiers naturels
et x2n-2 + x2n-1 = 2(x2n-3) + 3 (REL)
Clairement, avec x1=1, cela produit alors la plus petite valeur de x2n , le plus grand des éléments de E2n → Inversement
Étant donné une valeur x-max du plus grand élément d'un ensemble de type ''E2n'', plusieurs valeurs de n sont possibles.
Par exemple avec x-max = 68 (et x1 =1) , l'exemple ci-dessus montre que pour n =6 , l'ensemble E12 est l'ensemble de plus grand cardinal qui convient.
N.B. D'autres ensembles avec n < 6 (x-max =68 et x1 = 1), construits à partir des égalités (bi) existent par exemple un ensemble E6 tel que E6 = {1, 2, 3, 4, 64, 68} [ où 68+3=64+4+2+1 , etc…]
E8 tel que E8 = {1,2,3,5,6, 7, 56,68} [ où 68+6 = 56+7+5+1+2+3]
Donc
→ si la valeur x-max donnée correspond à une valeur x2n d'un ensemble minimal minimisé : ==> n définissant cet ensemble est la plus grande valeur possible de n ( x1 = 1 et x2n = x-max) → si la valeur x-max donnée ne correspond pas à une valeur x2n d'un ensemble minimal minimisé : Il existe 2 ensembles ''minimal minimisé'' E2n et E2(n+1) tels que
x2n < x-max < x2(n+1)
Alors en partant de E2n on peut choisir x2n-2 + x2n-1 = 2(x2n-3) + 3 + a où a = (x-max – x2n) , et construire ainsi un ensemble E'2n semblable à E2n , qui comportera la même nombre 2n d'éléments mais où x2n = x-max donné.
Pour préciser cela
Explicitons x2n dans le cas d'une configuration minimale en fonction des paramètres libres x1,x2, …, xn-1 A l'aide des relations (bi) et des relations (REL) ci-dessus on obtient :
x2n = 2x1 + 3x2 + 4x3 + … + (n-1)xn-2 + (n-1)xn-1 + 3
→ Pour n donné le plus petit des x2n est obtenu avec la suite des entiers naturels de x1 = 1 à xn-1 = n-1 ==> x2n = [n(n-1)(n-2)]/3 + (n-1)² + 3
Les valeurs successives de x2n en fonction de l'entier n permettent de comparer x-max = 2021 à x2n : … , n = 17 → ''x2n'' = 1616 , n = 18 → ''x2n'' = 1921 , n = 19 → ''x2n'' = 2262 , … D'où l'encadrement
1921 < 2021 < 2262
==> A partir de l'ensemble ''minimal minimisé'' E36, on peut donc considérer un ensemble E'36 Dans ce dernier (avec 2n = 36) :
x'34+x'35 = 2(x33) + 3 + 100 remplace x34+x35 = 2(x33) + 3 et alors x'2n = 2021 remplace x2n = 1921
Conclusion : Avec cette approche :
==> n = 18 est le plus grand nombre possible tel qu'il existe un E2n qui satisfait aux conditions de l'énoncé et pour lequel x1=1 , x-max = 2021
