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A639 - Multi-partitions [*** à la main]

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Academic year: 2022

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A639 - Multi-partitions [*** à la main]

Soit un entier n ≥ 3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser une partition de E en deux sous-ensembles de même somme avec l’un des sous-ensembles de cardinal m

Application numérique : trouver l’entier n (si possible le plus grand) tel que l’ensemble E a les propriétés de Q₁ et ses deux éléments extrêmes sont respectivement égaux à 1 et 2021.

Solution proposée par Daniel Collignon n=3 : E = {1,3,4,5,6,7} de somme 26 13 = 7+6 = 6+4+3

n>=4 : E = {1, 2, 3, 4, 7, 8 ... 2^(n-1) - 1, 2^(n-1), 2^n - n - 2, 2^n - 1} de somme 2*(2^(n+1)-n-3) On commence par 2^(n+1)-n-3 = 2^n-1 + 2^n-n-2

Puis à l'étape k=n..3, on substitue 2^k-1 par 2^(k-1) + 2^(k-1)-1 Application numérique : n=11 avec E =

{1,2,3,4,7,8,15,16,31,32,63,64,126,127,252,253,505,506,1010,1011,2015,2021} de somme 8072 On commence par 4036 = 2021+2015

Puis on substitue 2021 par 1011+1010, et on itère sur l'entier impair ajouté 2i+1 que l'on substitue par 2 entiers consécutifs i et i+1, dont l'un est impair...

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Il est tout aussi simple d'écrire un programme informatique ad hoc qui donne le tableau ci-après en deuxième page dans lequel les "candidats" sont classés par n croissant,

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Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser