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A632 − Les partitions du millésime [* à *** à la main] On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk

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Academic year: 2022

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A632 − Les partitions du millésime [* à *** à la main]

On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk est le plus petit possible.

Ainsi p₁ = 2018 et p₂ = 2016 avec la partition 2018 = 2016 + 2, tout autre participation de 2018 de la forme 2018 = a + (2018 − a) donnant un PPCM de a et 2018 − a strictement supérieur à 2016.

Q₁ Démontrer que la suite des pk contient un nombre fini de termes.

Q₂ Déterminer les termes de la suite des pk pour k variant de 3 à 9.

Q₃ Déterminer la valeur minimale des termes de la suite des pk et les indices k pour lesquels cette valeur minimale est atteinte.

Solution proposée par Raymond Bloch.

Si a1+a2+…+ak= 2018= 2*1009, les ai entiers positifs, distincts avec a1<a2<…<ak , posons : a2=m2*a1, a3=m3*a1,…, ak=mk*a1. Alors

a1(1+m1+m2+…+mk) = 2*1009, 1009 un nombre premier. Donc a1=2 et (m1+m2+…+mk)= 1008= 24 * 32 *7. (1)

On veut que le PPCM des ai soit minimum, donc que ce PPCM soit pk = 2*ak= 2*mk *a1, et donc que mk soit le PPCM des mi : cela implique que les mi soient les plus petits possibles, que mk soit le plus petit commun multiple possible des mi, avec la condition (1).

Q1 Le nombre de partitions de (1) avec les conditions ci-dessus est fini, donc le nombre des mk possibles, donc des pk possibles, est fini.

Q2 Posons mi = ji * m1, pour 2≤i≤k : (1) devient m1(1+j2+j3+…+jk) = 24 * 32 *7. (2) On veut que les ji soient les plus petits possibles, que jk soit le plus petit commun multiple possible des ji, avec la condition (2).

Voici nos valeurs pour p3 à p9 ainsi que les partitions correspondantes de 2018, avec l’indication des termes et de la somme de (1+j2+j3+…+jk) :

p3=1344 : 2,672,1344.

p4=1152 : 2,288,576,1152.

p5=990 : 5,198,330,495,990.

p6=912 : 4,114,228,304,456,912.

p7= 840 : 8,120,140,210,280,420,840.

p8=816 : 12,68,102,136,204,272,408,816.

p9= 780 : 3,26,78,130,156,195,260,390,780.

Q₃ La valeur minimale est atteinte avec p₁₀ = 720 : 36,48,80,90,120,144,180,24 Les termes suivants pk sont tous égaux à 720 pour tout k variant de 11 à 28

P₂₈ : 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,30,36,45,48,60,72,80,90,120,144,180,240,720

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