A632. Les partitions du millésime

A632. Les partitions du millésime

On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk est le plus petit possible.

Ainsi p1 = 2018 et p2 = 2016 avec la partition 2018 = 2016 + 2, tout autre participation de 2018 de la forme 2018 = a + (2018 − a) donnant un PPCM de a et 2018 − a strictement supérieur à 2016.

Q1 Démontrer que la suite des pk contient un nombre fini de termes.

Q2 Déterminer les termes de la suite des pk pour k variant de 3 à 9.

Q3 Déterminer la valeur minimale des termes de la suite des pk et les indices k pour lesquel cette valeur minimale est atteinte.

Q4 Pour les plus courageux: determiner la valeur du dernier terme de la suite des pk.

Question 1 :

2018 a un nombre fini de partitions en somme de nombres distincts.

(152944318262234556810654884677632 exactement donné par la suite https://oeis.org/A000009 ) Donc, il est évident que la suite des Pk a aussi un nombre fini de termes.

Pour la suite, on s'intéressera uniquement au Pk possibles : (pas les 152944318262234556810654884677632 ! ! ! )

mais des nombres dont la somme des diviseurs est supérieure à 2018, en partant du plus petit au plus grand, sachant que

le nombre maximum de termes ne peut excéder 63.

Question 2 :

P1 = 2018 ( 2018 ) P2 = 2016 ( 2 , 2016 )

P3 = 1344 ( 2 , 672 , 1344 ) P4 = 1152 ( 2 , 288 , 576 , 1152 ) P5 = 990 ( 5 , 198 , 330 , 495 , 990 ) P6 = 912 ( 4 , 114 , 228 , 304 , 456 , 912 ) P7 = 840 ( 8 , 120 , 140 , 210 , 280 , 420 , 840 ) P8 = 816 ( 12 , 68 , 102 , 136 , 204 , 272 , 408 , 816 ) P9 = 780 ( 3 , 26 , 78 , 130 , 156 , 195 , 260 , 390 , 780 )

Il semblerait que la suite soit décroissante jusqu'à 720 puis de nouveau croissante...

Question 3 :

Le plus petit nombre dont la somme des diviseurs est plus grande que 2018 est 720.

Il est donc potentiellement le plus petit Pk.

Or, il s'avère que l'on peut l'atteindre pour k allant de 10 à 28 en rusant un petit peu avec la somme de ses 30 diviseurs.

P10 720 360 240 180 144 120 90 80 48 36 P11 720 360 240 180 144 90 80 72 60 48 24 P12 720 360 240 180 120 90 80 72 60 40 36 20 P13 720 360 240 144 120 90 80 72 60 48 36 30 18 P14 720 360 240 144 120 90 80 60 48 45 40 36 20 15 P15 720 360 180 144 120 90 80 72 60 48 40 36 30 20 18 P16 720 360 180 144 120 90 80 72 48 45 40 36 30 20 18 15 P17 720 360 180 144 120 90 72 60 48 45 40 36 30 24 18 16 15 P18 720 360 180 144 120 80 72 60 48 45 40 36 30 24 18 16 15 10 P19 720 360 180 144 120 80 72 60 48 45 40 36 24 20 18 16 15 12 8 P20 720 360 180 144 90 80 72 60 48 45 40 36 30 24 20 18 16 15 12 8 P21 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 36 30 24 20 18 16 15 12 8 P22 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 36 30 24 20 18 15 12 10 8 6 P23 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 36 30 20 18 16 15 12 10 9 8 5 P24 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 36 24 20 18 16 15 12 10 9 8 6 5 P25 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 36 24 20 18 16 15 12 10 9 8 5 4 2 P26 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 30 24 20 18 16 15 12 10 9 8 6 5 4 2 P27 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 40 30 24 20 18 16 15 12 10 9 8 6 5 3 2 1 P28 720 240 180 144 120 90 80 72 60 48 45 36 30 24 20 18 16 15 12 10 9 8 6 5 4 3 2 1

Question 4 :

1+2+3...+61+62+65 1+2+3...+61+63+64

Seule la première permet de faire l'économie d'un facteur 2 pour un PPCM de

32 * 27 * 25 *49 * 11 * 13 * 17 * 19 *23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 59 * 61

Soit P63 = 591133442051411133755680800 supposé Pk max.

En effet, pour P62, il suffit de prendre les deux plus grands facteurs premiers et les combiner pour s'assurer de l'existence d'un P62 plus petit.

P62 => remplacer 59 et 61 par 120 P61 => remplacer 47 et 53 par 100

….

On a presque l'assurance de pouvoir dire que P63 est le maximum des Pk