A632 − Les partitions du millésime [* à *** à la main]
On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk est le plus petit possible.
Ainsi p₁ = 2018 et p₂ = 2016 avec la partition 2018 = 2016 + 2. Tout autre partition de 2018 de la forme 2018 = a + (2018 − a) donne un PPCM de a et 2018 − a qui est strictement supérieur à 2016.
Q₁ Démontrer que la suite des pk contient un nombre fini de termes.
Q₂ Déterminer les termes de la suite des pk pour k variant de 3 à 9.
Q₃ Déterminer la valeur minimale des termes de la suite des pk et les indices k pour lesquel cette valeur minimale est atteinte.
Q₄ Pour les plus courageux: determiner la valeur du dernier terme de la suite des pk.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ Comme la partition de 2018 est constituée d'entiers tous distincts, il y a 63 termes au maximum car la somme des entiers de 1 à 64 = 65*64/2 = 2080 > 2018
Q₂ et Q₃
L'entier 2016 est tel que 2016 = 1344 + 1344/2 = 1344 + 672 = 1152 + 576 + 288 = 1152 + 1152/2 + 1152/4.
On en déduit immédiatement:
p₃ = 1344 avec 2018 = 1344 + 672 + 2 p₄ = 1152 avec 2018 = 1152 + 576 + 288 + 2
Pour obtenir p₅ et les termes suivants, il est naturel de chercher les entiers n < 1152 dit abondants, ayant un grand nombre de diviseurs [fonction τ(n)] et dont la somme des diviseurs [fonction σ(n)] est ≥ 2018.
Tout entier n est de la forme 2a.3b .5c .7d .11e.13f.17g.19h...et l'on a τ(n) = (a + 1).(b + 1).(c + 1)... puis σ(n) =
a 1 b 1 c 1
2 1 3 1 5 1
. . ....
2 1 3 1 5 1
L'encyclopédie en ligne des entiers OEIS (suite des τ(n) : http://oeis.org/A000005 et suite des σ(n):
http://oeis.org/A000203) permet de les repérer.
Il est tout aussi simple d'écrire un programme informatique ad hoc qui donne le tableau ci-après en deuxième page dans lequel les "candidats" sont classés par n croissant, puis par σ(n) croissant et enfin par τ(n) croissant.
On obtient ainsi :
p₅ = 990 avec 2018 = 990 + 495 + 330 + 198 + 5 p₆ = 912 avec 2018 = 912 + 456 + 304 + 228 + 114 + 4 p₇ = 840 avec 2018 = 840 + 420 + 210 + 140 + 120 + 8
p₈ = 816 avec 2018 = 816 + 408 + 272 + 204 + 136 + 102 + 68 + 12 p₉ = 780 avec 2018 = 780 + 390 + 260 + 195 + 156 + 130 + 78 + 26 + 3
La valeur minimale est 720 est atteinte avec p₁₀ = 720 qui donne 2018 = 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 48 + 36.
On vérifie que 720 ayant 30 diviseurs on obtient p₁₁ = p₁₂ = ....= p₂₈ = 720 soit 18 termes identiques.
Le dernier terme p₂₈ = 720 permet d'écrire 2018 avec tous les diviseurs de 720 sauf les diviseurs 360 et 40.
En effet σ(720) = 2418 = 2018 + 360 + 40. Il est impossible d'aller au delà.
Q₄
2018 = somme des entiers de 1 à 61 + 62 + 65 ou bien = somme des entiers de 1 à 61 + 63 + 64 avec somme des entiers de 1 à 61 = 1891
La liste des PPCM des entiers de 1 à 65 est accessible à l'adresse http://oeis.org/A003418/b003418.txt Le PPCM des entiers de 1 à 61 est égal à 591 133 442 051 411 133 755 680 800
Sachant que 2018 = 1891 + 62 + 65, 62 = 2*31 et 65=5*13, on retient le PPCM pour n = 61soit 591 133 442 051 411 133 755 680 800 qui est divisible aussi bien par 62 que par 65
L'autre partition 2018 = 1891 + 63 + 64 conduit à multiplier par 2 le PPCM précédemment calculé.
n croissant σ(n) décroissant τ(n) décroissant
