A570 – A la recherche du facteur commun [*** à la main]
Quel que soit l’entier k ≥ 1, on sait que pour tout entier n≥1, les entiers (n + 1)k et nk sont relativement premiers entre eux.
Montrer que pour k prenant successivement les valeurs 3,5 et 7 on sait trouver au moins un entier n ≥ 0 tel que les entiers (n + 1)k + k et nk + k ont un facteur commun >1.
Solution partielle proposée par Marcie-Christine Piquet cas k = 3.
Tout d'abord, n et n+1 sont deux nombres successifs .Donc, si n est pair alors nk + k est impair et (n+1)k + k est pair .
Le facteur commun recherché ne peut être qu'un nombre premier impair : 2 est donc à exclure .
Soit p le facteur commun recherché. Posons n = p + a , a pouvant être un entier négatif . a) p divise n³+ 3 et (n+1)³+ 3 . Il divise aussi leur différence . c'est à dire 3n² + 3n + 1
= 3. (p+a)² + 3. (p+a) + 1 = 3p² + 6ap + 3a² + 3p + 3a + 1
p divise donc 3a² + 3a + 1, p divise aussi n³+ 3 = (p + a)³+ 3 = p³+ 3ap² + 3a²p + a³+ 3 . p divise donc a³+ 3 , et a³+ 3 = m . [ 3a² + 3a + 1 ]
p divise aussi a³+ 3 + 3a² + 3a + 1 = (a+1)³+ 3.
On remarque que le couple (a,a+1) répond aux mêmes conditions que le couple (n,n+1) Il existe donc une infinité de solutions (n,n+1) avec n = a + ou - pn
En donnant à m la valeur – 2 ,on obtient une équation de degré 3 : a³+ 6a² + 6a + 5 avec des coefficients positifs de la forme:
a = 1 et b = c = d + 1.
La racine entière vaut donc – d . Pour cet exemple la racine entière de l'équation est – 5 Alors : 3a² + 3a + 1 = 75 – 15 + 1 = 61.
p doit donc diviser 61 qui est premier . Alors p = 61 et n = p + a = 61 – 5 = 56 . ( – 5)³+ 3 = -122 et ( – 4)³+ 3 = – 61
p = 61 est le facteur commun recherché et on vérifie que 56³+ 3 = 61 x 2879 57³ + 3 = 2² x 3 x 11 x 23 x 61
61 est donc le facteur commun des 2 nombres. Alors les solutions sont donc les nombres N
= – 5 + 61n.L’entier 56 est donc le plus petit nombre positif.
![1)] Facteur commun](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)