Les entiers font de la résistance Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant&#34

A367. Les entiers font de la résistance

Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant" si la différence d(N, k) entre lui-même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres est strictement positive.

Par exemple 12 est résistant car 12 − 1² −2² = 7 > 0. A l'inverse 256 ne l'est pas car 256 − 2³ − 5³ − 6³

= − 93 < 0

Q1 : Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.

Q2 : Démontrer qu'il existe un entier N0 tel que tous les entiers ≥ N0 sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer le plus petite valeur possible de N₀.

Solution proposée par François Tisserand Considérations préliminaires :

Soit N_k un nombre de k chiffres a_i ; i variant de 0 à k-1.

Nk s’écrit ak-1 …a2a1a0 en notation décimale avec ai ϵ{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sauf pour ak-1

ϵ{1,2,3,4,5,6,7,8,9} On a :

(1) Nk=a₀+10*a₁+100*a₂+…10^k-1 *a_k-1 (2) Nk=∑10ⁱ*ai pour i variant de 0 à k-1

La distance est définie comme la différence entre le nombre lui-même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres. La distance est notée d(Nk, k).

(3) d(Nk, k)=N_k-a₀^k-a₁^k-a₂^k…..-aik

pour i allant de 0 à k-1 (4) d(Nk, k)=Nk-∑ aik

pour i allant de 0 à k-1 Si on combine (2) et (4) on a :

(5) d(Nk, k) =∑ 10ⁱ*ai-∑ aik=∑ ai *(10ⁱ -aik-1

) pour i variant de 0 à k-1

Etude de la question 1

Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.

d(N_k, k) sera maximal si chacun des termes composants la somme est maximal. Il convient donc d’étudier le sens de variation de la fonction générique fi(a_i)= ai *(10ⁱ -aik-1

).

(6) fi’(ai)= (10ⁱ -aik-1

)+ ai *(- (k-1)*aik-2

)= 10ⁱ –k*aik-1

(7) fi’(ai)=0 =>aimax=(10ⁱ/k)^1/(k-1)

notons que numérateur est inférieur ou égal à 10 (10 est atteint lorsque i=k-1) et que le dénominateur est supérieur à 1 (pour k>1) et tend asymptotiquement vers 1 lorsque k augmente.

La valeur a_imax est donc toujours strictement inférieure à 10.

fi’(ai) est positive de 0 jusqu’à aimax (donc f croissante) et négative de ensuite (donc f decroissante).

la valeur de f(ai) pour aimax est

(8) fi(a_imax) =(10ⁱ/k)^1/(k-1)*10ⁱ*(k-1)/k=(10ⁱ/k)^k/(k-1)*(k-1)

(9) Comme fi(0)=0 alors la fonction fi(ai) est croissante et positive de 0 à aimax puis décroissante de aimax à 9 qui est la plus grande valeur de ai. (sauf si aimax>9, c’est-à-dire k>34 (*) dans ce cas, la fonction reste croissante sur l’ensemble des ai),

Note (*) : a_imax=(10ⁱ/k)^1/(k-1)=10*(1/k)^1/(k-1) avec i=k-1 pour la valeur maximale, pour a_imax=9 alors k=(10/9)^k-1 =(10/9)^k * (9/10) et donc ln(k)=k*ln(10/9)+ln(9/10) => k≈34,65

Cas particulier de k=1 :

Dans ce cas, N1=a0 (les nombres N1 sont constitués de 1 chiffre de 0 à 9) (10) d(N1,1)=a0-a01

=0 quel que soit a0 de 0 à 9.

Donc pour k=1, il n’y a pas de nombre résistants (résistant= distance strictement positive).

Cas particulier de a₀ On a

(11) f₀(a₀)= a0*(1 –a0k-1) cette fonction s’annule en 0 et 1, quel que soit k (le max est a_0max=(1/k)^1/(k-1), toujours compris entre 0.5 et < 1) et devient négative pour a₀ allant de 2 à 9.

Le maximum de f0(a0) est donc pour a0=0 et a0=1, ce maximum est 0. D’après (5) on a (12) d(Nk,k) = a0 *(1 –a0k-1)+∑ ai *(10ⁱ -aik-1

) pour i allant de 1 à k-1

Les deux valeurs a0=0 et a0=1 conduisent à la même valeur de f0=0 qui est le maximum de cette composante de la distance, donc seront à considérer comme solution dans la recherche des maximum de d(Nk,k).

(13) a0=0 et a0=1 sont parties des solutions dans la recherche des maximums de d(Nk, k) avec un statut identique.

Solutions de la question 1 sur les nombres résistants :

Le tableau ci-dessous donne la valeur réelle de a_imax=(10ⁱ/k)^1/(k-1) pour les différentes valeurs de i et de k, [i varie de 0 à k-1] (de 2 à 10 ; la cas k=1 est déjà traité)

i= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

k=

2 0,5 5

3 0,5774 1,8257 5,7735

4 0,6300 1,3572 2,9240 6,2996

5 0,6687 1,1892 2,1147 3,7606 6,6874

6 0,6988 1,1076 1,7554 2,7821 4,4093 6,9883 7 0,7230 1,0612 1,5577 2,2864 3,3560 4,9259 7,2302 8 0,7430 1,0324 1,4345 1,9932 2,7696 3,8483 5,3472 7,4300 9 0,7598 1,0133 1,3512 1,8019 2,4028 3,2042 4,2729 5,6980 7,5984 10 0,7743 1,0000 1,2915 1,6681 2,1544 2,7826 3,5938 4,6416 5,9948 7,7426

Le maximum de chacune des composantes f_i de d(N_k,k) est atteint par la valeur entière la plus proche (une vérification par tableur montre que la valeur la plus proche de deuxième rang donne un d(Nk,k) plus petit).

Le tableau ci-dessous donne les valeurs entières des a_i pour les différentes valeurs de k.

i= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

k=

2 0 ou 1 5

3 0 ou 1 2 6

4 0 ou 1 1 3 6

5 0 ou 1 1 2 4 7

6 0 ou 1 1 2 3 4 7

7 0 ou 1 1 2 2 3 5 7

8 0 ou 1 1 1 2 3 4 5 7

9 0 ou 1 1 1 2 2 3 4 6 8

10 0 ou 1 1 1 2 2 3 4 5 6 8

Les solutions à la question 1 : le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal sont :

k=1 pas de solution k=2 {50, 51}

k=3 {620, 621}

k=4 {6310, 6311}

k=5 {74210, 74211}

k=6 {743210, 743211}

k=7 {7532210, 7532211}

k=8 {75432110, 75432111}

k=9 {864322110, 864322111}

k=10{8654322110, 8654322111}

Etude de la question 2

Démontrer qu'il existe un entier N0 tel que tous les entiers ≥ N0 sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer le plus petite valeur possible de N0

Reprenons la définition de d(N_k, k) : (14) d(N_k,k) =∑ai *(10ⁱ -aik-1

)= ∑ fi(a_i) pour i allant de 0 à k-1

On cherche a démontrer qu’à partir d’une certaine valeur de k, d(N_k,k)>0 pout tout a_i. On a précédemment noté que pour k≤35, la fonction f_i(a_i)= ai *(10ⁱ -aik-1

) est croissante et positive de 0 jusqu’à aimax et décroissante de aimax à 9.

Donc la valeur minimale de fi(ai) est atteinte pour ai=9 si fi(ai)<0 pour ai > aimax et ai=0 ou 1 si fi(ai)>0 quel que soit a_i> a_imax ; ce qui est le cas par exemple pour f_k-1(a_k-1).

Etude du signe de chacune des composantes de la somme d(N_k, k) =∑ai *(10ⁱ -aik-1

) pour a_i=9:

(15) 10ⁱ -aik-1

>0 =>10ⁱ -9^k-1>0 =>10ⁱ >9^k-1 =>i*ln(10) > (k-1)*ln(9) (16) =>i> (k-1)*ln(9)/ln(10) i variant de 0 à k-1

Posons i=k-β avec β variant de 1 à k et R= ln(9)/ln(10)≈0.9542 alors (16) devient : (17) k-β> (k-1)*R donne k*(1-R)> β-R soit k>(β-R)/(1-R)

On trouve pour β=1 (donc i=k-1) que k>1 et (17) est toujours satisfaite, ce qui est cohérent avec les résultats de la question 1.

Pour k>1, le dernier terme de d(Nk, k) =∑ai *(10ⁱ -aik-1

) qui est ak-1 *(10^k-1 –ak-1k-1

) est toujours positif pour a_k-1 compris entre 1 et 9.

Pour β=2 (c’est-à-dire le pénultième terme) on trouve que celui-ci devient toujours positif si : (18) k>(2-R)/(1-R) soit k>≈22,85

Pour β=3 (c’est-à-dire l’ante pénultième terme) on trouve que celui-ci devient toujours positif si : (19) k>(3-R)/(1-R) soit k>≈44,7

Pour β=4 (c’est-à-dire l’ante ante pénultième terme) on trouve que celui-ci devient toujours positif si : (20) k>(4-R)/(1-R) soit k>≈66,5

Notons que le premier terme (i=0) est toujours négatif pour a0>1 et ce quel que soit k.

Donc pour k<23 la distance minimum s’obtient avec a_i=9 pour i de 0 à k-2 sauf pour le dernier terme qui est a_k-1=1. Ce qui reporté dans (14) donne une valeur de distance minimale

(21) d(N_k, k) =∑ai *(10ⁱ -aik-1

) =∑9 *(10ⁱ -9^k-1)+1*(10^k-1-1^k-1) pour i variant de 0 à k-2 (22) d(Nk, k) =∑9 *(10ⁱ -9^k-1)+(10^k-1-1)=9*∑10ⁱ -9*∑9^k-1+10^k-1-1 pour i variant de 0 à k-2 (23) d(Nk, k) = 9* (10^k-1-1)/(10-1) -9*(k-1)* 9^k-1+10^k-1-1

(24) d(Nk, k) = (10^k-1-1) -9*(k-1)* 9^k-1+10^k-1-1 (25) d(Nk, k) = 2*10^k-1 -9*(k-1)* 9^k-1 -2

Cherchons la valeur de k qui rend la distance d(Nk, k)>0 c’est-à-dire (26) d(Nk, k)>0 => 2*10^k-1 >9*(k-1)* 9^k-1 +2 ≈9*(k-1)* 9^k-1 inégalité satisfaite pour k>52 pas compatible avec l’hypothèse k<23

supposons k>44, les trois derniers termes de d(Nk, k) sont minimaux pour ak-3=0 ak-2=0 et ak-1=1 (f est positive). Les autres ai étant à 9. En reprenant (20) avec ces nouvelles hypothèses on a :

(27) d(Nk, k) =∑9 *(10ⁱ -9^k-1)+1*(10^k-1-1^k-1) pour i variant de 0 à k-4 (28) d(Nk, k) = 9* (10^k-3-1)/(10-1) -9*(k-3)* 9^k-1+10^k-1-1

(29) d(N_k, k) = 101*10^k-3 -9*(k-3)* 9^k-1 -2

d(Nk, k) devient positif à partir de k=61 (**), c’est-à-dire que tous les nombres de 61 termes et plus ont des distances positives (i.e. sont résistants). Il existe bien un nombre N0 au-delà duquel tous les entiers sont résistants.

(**) on a 44<k=61<66 donc (27) à (29) s’appliquent.

Donc il existe un nombre N0 (de taille 60 ou 61 chiffres) a partir duquel les distances sont systématiquement positives et donc les nombres sont tous résistants.

Recherche du plus petit N₀

La valeur de k qui donne une ou des distances négatives est k=60. La distance négative la plus importante (du nombre à 60 chiffre) est atteinte avec le nombre N_60min=100999- …-999 les « 9 » étant répétés 57 fois. Le nombre N0 est supérieur à N60min et inférieur à 10⁶¹, premier des nombre de taille k=61.

On cherche donc le nombre N qui s’écrit a_k-1a_k-2a_k-3999…999 (les « 9 » répétés 57 fois).

(30) d(Nk, 60) =∑ai *(10ⁱ -aik-1

) =∑9 *(10ⁱ -9⁵⁹)+ a57*(10⁵⁷- a5759

)+ a58*(10⁵⁸- a5859

) + a₅₉*(10⁵⁹- a₅₉⁵⁹) pour i variant de 0 à k-4 (57 termes)

(31) S=∑9*(10ⁱ -9⁵⁹)= 9*∑10ⁱ -9*∑9⁵⁹)=9* [(10⁵⁷-1)/(10-1)]-9*57*9⁵⁹=(10⁵⁷-1)-(57*9⁶⁰) (32) S≈(1-102,429) 10⁵⁷≈-101,429 *10⁵⁷ d’autre part

(33) S’=a57*(10⁵⁷- a5759

)+ a58*(10⁵⁸- a5859

) + a59*(10⁵⁹- a5959)≈ a57*10⁵⁷+ a58*10⁵⁸+a59*10⁵⁹ car ai59

est petit devant 10⁵⁷, ou 10⁵⁸ ou 10⁵⁹ pour des ai petits (0, 1 , 2 ..) On compare S et S’ pour trouver les ai qui rendent S+S’= d(Nk, 60) positif.

(34) d(Nk, 60) = S+S’=-101,429 *10⁵⁷+(100*a59+10*a58+ a57)*10⁵⁷

d(Nk, 60) est négatif pour a59=1 ; a58=0 a57=1 qui est un « minimum local », (on recherche toujours les valeurs min d’un nombre à k chiffres)

d(N_k, 60) devient positif à partir du minima suivant a₅₉=1 ; a₅₈=0 a₅₇=2 et donc ensuite toujours positif.

le nombre N0 est donc entre N0min=101999- …-999 les « 9 » étant répétés 57 fois et N0max=102999- …- 999 les « 9 » étant répétés 57 fois.

Les nombres supérieurs à N_0min deviennent immédiatement positifs car constitués d’une collection de a_i=0, (distance positive car la soustraction des chiffres devient nulle ou négligeable) et dès l’instant ou le « minimum local » suivant N0max est positif, alors tous les nombres supérieurs à N0min sont positifs.

Le nombre N₀ est donc :N₀= N_0min +1=101999- …-999 [57 fois] +1=102000- …-000[57 fois]

Conclusion et solutions :

il existe un nombre N₀ (de taille 60 chiffres) a partir duquel les distances sont systématiquement positives et donc les nombre sont tous résistants.

Ce nombre N0 est donc :N0=102000- …-000 les « 0 » étant répétés 57 fois

*Fin*