A353. Les entiers homogéniques
Deux entiers naturels sont appelés par convention « homogéniques » s’ils ont les propriétés suivantes :
- ils sont distincts,
- l’un et l’autre ont k chiffres,
- le même chiffre commence et termine les deux entiers, - les k premiers chiffres de leur produit sont identiques, - les k derniers chiffres de leur produit sont identiques.
Trouver le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible.
Les deux entiers sont distincts donc k > 3 .
Le nombre de chiffres du produit de deux nombres de k chiffres est 2k – 1 ou 2k.
Dans notre problème, le nombre de chiffres du produit est nécessairement 2k.
Soit a le chiffre qui commence et termine les deux entiers, x et y deux nombres de (k – 2 ) chiffres.
Par convention les deux nombres de k chiffres sont axa et aya.
Quels que soient x et y , les produits (1x1).(1y1) et (2x2).(2y2) n'ont que 2k – 1chiffres.
Dorénavant 3 < a < 9 .
Sachant que x et y sont dans l'intervalle [0, 10k – 2 [, et que (axa).(aya) doit avoir 2k chiffres, on constate que le chiffre de gauche de ce produit est assorti au chiffre a :
a 3 4 5 6 7 8 9
Chiffre de gauche 1 1 ou 2 2 ou 3 3 ou 4 5 ou 6 6 ,7, ou 8 8 ou 9 Produit
(axa)par (aya)
1..19..9 1..16..6 2..26..6
2..25..5 3..35..5
3..36..6 4..46..6
5..59..9 6..69..9
6..64..4 7..74..4 8..84..4
8..81..1 9..91..1 a=4 ou a=6 sont impossibles parce qu'un nombre terminé par 66 n'est pas multiple de 4 donc n'est jamais le produit de deux nombres pairs.
a=5 n'est pas possible parce qu'un nombre terminé par 55 n'est pas multiple de 25 donc n'est jamais le produit de deux nombres terminés par 5.
Donc a est l'un des chiffres 3, 7, 8, 9.
Avec k=3, en décomposant en produit de facteurs premiers chacun des nombres 111999, 555999, 666999, 666444, 777444, 888444, 888111, 999111,
(ils ont tous multiples de 111 = 3 * 37)
en tentant de répartir ces facteurs en deux groupes qui conduisent à deux produits commençant et finissant par le chiffre a qui convient, on parvient à chaque fois rapidement à une impossibilité.
On recommence avec k=4 et les nombres
11119999, 55559999, 66669999, 66664444, 77774444, 88884444, 88881111, 99991111 (ils ont tous multiples de 1111 = 11 * 101)
sans plus de succès.
Idem avec k=5 (avec des nombres tous multiples de 11111 = 41 * 271).
Mais avec k=6, et a=3 on trouve 111111999999 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37 . 293 . 3413 ce qui peut s'écrire (7. 13. 3413).(3. 11. 37. 293) = 310583 . 357753
[ avec a=7 on trouve aussi 555555999999 = 7³. 3. 11.13. 37. 67. 1523 , ce qui peut s'écrire (7. 67. 1523).(7². 3. 11. 13. 37) = 714287 . 777777 ] Le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible est : ( 310583 , 357753).
Pour le détail des factorisations voir la page 2
PAGE 2 :
111999 = 3 * 37 * 1009 pour a = 3 555999 = 3 * 37 * 5009 pour a=7
666999 = 3 * 37 * 6009 = 3² * 37 * 2003 pour a=7 666444 = 3 * 37 * 6004 = 3 * 37 * 2² * 19 * 79 pour a = 8 777444 = 3 * 37 * 7004 = 3 * 37 * 2² * 17 * 103 pour a = 8 888444 = 3 * 37 * 8004 = 3² * 37 * 2² * 23 * 29 pour a = 8 888111 = 3 * 37 * 8001 = 33 * 37 * 7 * 127 pour a = 9 999111 = 3 * 37 * 9001 pour a = 9
11119999 = 11 * 101 * 10009 pour a = 3 55559999 = 11 * 101 * 50009 = 11 * 101 * 43 * 1163 pour a=7 66669999 = 11 * 101 * 60009 = 11 * 101 * 3 * 83 * 241 pour a=7 66664444 = 11 * 101 * 60004 = 11 * 101 * 2² * 7 * 2143 pour a = 8 77774444 = 11 * 101 * 70004 = 11² * 101 * 2² * 37 * 43 pour a = 8 88884444 = 11 * 101 * 80004 = 11 * 101 * 2² * 3 * 59 * 113 pour a = 8 88881111 = 11 * 101 * 80001 = 11 * 101 * 33 *2963 pour a = 9 99991111 = 11 * 101 * 90001 pour a = 9 1111199999 = 41 * 271 * 100009 = 41 * 271 * 7² * 13 * 157 pour a = 3 5555599999 = 41 * 271* 500009 pour a=7 6666699999 = 41 * 271* 600009 = 41 * 271 * 3 * 200003 pour a=7
6666644444 = 41 * 271* 600004 = 41 * 271 * 2² * 150001 pour a = 8 7777744444 = 41 * 271* 700004 = 41 * 271 * 2² * 139 * 1259 pour a = 8 8888844444 = 41 * 271* 800004 = 41 * 271 * 2² * 3 * 163 * 409 pour a = 8 8888811111 = 41 * 271* 800001 = 41 * 271 *3² * 103 * 863 pour a = 9 9999911111 = 41 * 271* 900001 pour a = 9
111111999999 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 1000009 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 293 * 3413 pour a = 3 555555999999 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 5000009 = 3 * 7³ * 11 * 13 * 37 * 67 * 1523 pour a = 7
555555999999 = (7. 67. 1523).(7². 3. 11. 13. 37) = 714287 . 777777 !!
