La produit des chiffres est donc : 9.3

(1)

A572. Des carrés plus que parfaits

Démontrer qu’il existe une infinité de carrés parfaits dont la somme des chiffres comme le produit des chiffres sont des carrés parfaits non nuls.

On va fouiner du côté de chez Swann, mais sans succès aucun, puis du côté de l'OEIS (https://oeis.org/A061267) qui dit que certains nombres commençant et finissant par le chiffre 9 et composés uniquement de chiffres 6 pour le reste, sont les bases de réponse à la question.

= 966 … 669 = 9 10+ 610− 1 9 10 + 9

Quant au carré de , il est de la forme 9344 … 448955 … 5561, avec autant de chiffres 4 que de chiffres 5.

= 93. 10⁽⁾+ 410− 1

9 10+ 89. 10+ 510− 1

9 10+ 61 On vérifie aisément la chose : en simplifiant les expressions de et , on obtient :

=^. et ()=^. s'écrit donc : 93 puis (n-1) chiffres 4, puis 89, puis (n-1) chiffres 5, puis 61

La somme des chiffres est donc : 9 + 3 + 4(! − 1) + 8 + 9 + 5(! − 1) + 6 + 1 = 36 + 9(! − 1) = 9(! + 3) Qui doit être égale à un carré. Dario Alpern donne:

! = "9#− 3 (1) 9#+ 6# − 2 (2) 9#+ 12# + 1 (3)

%

La produit des chiffres est donc : 9.3. 4. 8.9. 5. 6.1 = 9.3.8.9.6.1. 20= 108. 20 Qui doit être égal à un carré. Donc ! doit être impair : ! = 2& + 1

On examine le cas (1)

9#− 3 = 2& + 1 9#− 2& − 4 = 0 Dario Alpern donne : # = 2

Donc : ! = 36− 3

On tient notre infinité, donc, fainéantise oblige, on ne va pas plus loin.

Quand ' = ()*⁺− (, *'+ est un carré (évidemment!), de même que la somme et le produit de ses chiffres.

(2)

Identique et plus simple et perso :

! = 1210^!− 1 9 ! = 10^2!+ 710^!−1− 1

9 10^!+1+ 4. 10^!+ 210^!−1− 1 9 10 + 4 La somme des chiffres est : 1 + 7(! − 1) + 4 + 2(! − 1) + 4 = 9!

Le produit des chiffres est : 1. 7. 4. 2. 4 = 16. 14

Pour que somme et produit soient des carrés, il suffit que n soit un carré impair, donc ! = (2 + 1) Les trois premières valeurs :

! = (2 + 1) ! √./0 1#/0

9 1777777774222222224 9 153664

25 1777…7774222…2224 15 226775649501184

49 1777…7774222…2224 21 12856798801670963747004350464

…

Le programme (Mathematica) : [n_]: = 1210− 1

sdc[n_]: = Total[IntegerDigits[!]]9

pdc[n_] ≔ ApplyITimes, IntegerDigits[!]L

MatrixForm[Table[{(2! + 1)^2, [(2! + 1)^2]^2, Sqrt[sdc[[(2! + 1)^2]^2]], Sqrt[pdc[[(2!

+ 1)^2]^2]]}, {!, 3}]]