A353 – Les entiers homogéniques
Deux entiers naturels sont appelés par convention "homogéniques" s’ils ont les propriétés suivantes :
a) ils sont distincts,
b) l’un et l’autre ont k chiffres,
c) le même chiffre commence et termine les deux entiers, d) les k premiers chiffres de leur produit sont identiques, e) les k derniers chiffres de leur produit sont identiques.
Trouver le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible.
Solution proposée par Patrick Gordon
Le produit n de deux entiers p et q de chacun k chiffres a (2k – 1) ou 2k chiffres.
Dans le premier cas, la combinaison des conditions d et e implique que tous les chiffres du produit sont identiques, puisque celui du milieu est commun aux deux listes.
Le produit est alors un "repunit" ou "nombre unaire" (nombre écrit avec n fois le chiffre 1) multiplié par un entier à 1 chiffre.
Il ne semble pas qu'un tel nombre puisse être le produit de deux nombres ayant le même nombre de chiffres.
En effet, on rappellera ici quelques propriétés des repunits. On notera U (n) le nombre écrit avec n fois le chiffre "1".
Tout nombre U (t) avec t non premier = uv est divisible par U(u) et par U(v). Par exemple, 111 111 est divisible par 11 et par 111.
Mais U(u) et U(v) n'ont pas le même nombre de chiffres.
Si t est premier, U(t) a peu de facteurs et, semble-t-il, ne se réduit pas au produit de 2 facteurs ayant le même nombre de chiffres.
On rappellera que :
U(3) = 3 * 37 U(5) = 41 * 271 U(7) = 239 * 4 649 U(11) = 21 649 * 513 239 U(13) = 53 * 79 * 265 371 653 U(17) = 2 071 723 * 5 363 222 357
Nous nous concentrerons donc sur le cas de deux entiers p et q de chacun k chiffres dont le produit n a 2k chiffres. Ce produit s'écrit alors n = ii…i (k fois) jj…j (k fois). Encore faut-il naturellement que p et q soient assez grands pour que leur produit ait 2k chiffres, ce qui dépend principalement de ce même chiffre qui commence et termine les deux entiers p et q (condition c).
Concrètement, on voit aisément que ce même chiffre (que l'on notera x) doit être ≥ 3.
Un examen des petites valeurs de k apporte de précieux enseignements.
1er cas k = 2
n a alors 4 chiffres; l’entier 7744 = 88² satisfait toutes les conditions sauf la première. Il n'y a pas de solution.
2ème cas k=3
n a alors 6 chiffres et, comme on le voit aisément, x ≥ 3. Pour les valeurs de x = 3, 4,...9, on obtient les 1 ou 2 couples (i,j) possibles suivants avec les factorisations correspondantes de n : x (i,j)
3 (1,9) n = 111999 = 3 × 37 × 1009. Il n'y a pas de solution en p et q, car l’un des deux termes aurait au moins 4 chiffres.
4 (2,6) n = 222666 = 2 × 3 × 17 × 37 × 59. Il n'y a pas de solution en p et q car p et q étant pairs (puisqu'ils se terminent par 4 ou 6, pour donner j = 6), n doit être divisible par 4. Il y a
contradiction.
5 (3,5) n = 333555 = 3 × 5 × 37 × 601. Il n'y a pas de solution en p et q car p et q étant divisibles par 5 (puisqu'ils se terminent par 5), n serait divisible par 5² = 25. Il y a contradiction.
6 (4,6) n = 444666 = 2 × 3 × 37 × 2003. Il n'y a pas de solution en p et q car, p et q étant pairs, n doit être divisible par 4. Il y a contradiction.
7 (5,9) n = 555999 = 3 × 37 × 5009. Il n'y a pas de solution en p et q car l’un des deux termes aurait au moins 4 chiffres.
8 (6,4) et (7,4) n = 666444 = 22 × 3 × 19 × 37 × 79. Il n'y a pas de solution de la forme p = 8a8 et q=8b8 (aucun nombre de cette forme n'est divisible par 79) et n = 777444 = 22 × 3 × 17 × 37 × 103. Il n'y a pas de solution de la forme p = 8a8 et q=8b8 (aucun nombre de cette forme n'est divisible par 103).
9 (8,1) et (9,1) Pour n = 888111 = 33 × 7 × 37 × 127, il n'y a pas de solution de la forme p = 9a9 et q=9b9 (aucun nombre de cette forme n'est divisible par 127). Pour n = 999111 = 3 × 37 × 9001, il n'y a pas de solution de la forme p = 9a9 et q=9b9 (aucun nombre de cette forme ni, plus
généralement, aucun nombre à 3 chiffres, n'est divisible par 9001).
Conclusion partielle à ce stade
Nous avons écarté le cas où n aurait 2k–1 chiffres, pour des raisons ayant trait aux propriétés des repunits rappelées ci-dessus, pour n'étudier que le cas où n a 2k chiffres On voit aisément qu'alors x ≥ 3 (avec i = 1 pour x = 3).
Nous avons relevé 4 cas principaux d'impossibilité : 1) n a un facteur premier de plus de k chiffres 2) x est pair mais n n'est pas divisible par 4 3) j = 5 mais n n'est pas divisible par 25
4) n comporte un facteur premier par lequel aucun nombre de la forme x…x n'est divisible.
Ces propriétés permettent de dégrossir la recherche d'une solution.
La méthode consiste à reprendre, pour k = 4, 5, 6… le point de départ de la démarche ci-dessus qui indique les valeurs des couples (i,j) possibles selon la valeur de x.
Dans un tableau, on consignera les valeurs de k, x, i et j (ces deux dernières découlent de x et sont indépendantes de k). Au moyen d'un site approprié, on factorisera le nombre n = ii…i (k fois) jj…j (k fois) et l'on recherchera si une solution existe.
En voici le résultat.
k x i j n factorisation impossibilité
4 3 1 9 11 119 999 11 × 101 × 10009 n a un facteur premier de plus de k chiffres 4 4 2 6 22 226 666 2 × 7 × 11 × 101 × 1429 x est pair mais n n'est pas divisible par 4 4 5 3 5 33 335 555 5 × 11 × 17 × 101 × 353 j = 5 mais n n'est pas divisible par 25 4 6 4 6 44 446 666 2 × 11 × 83 × 101 × 241 x est pair mais n n'est pas divisible par 4
4 7 5 9 55 559 999 11 × 43 × 101 × 1163 n comporte un facteur premier (1163) par lequel aucun 7…7 n'est divisible 4 8 6 4 66 664 444 22 × 7 × 11 × 101 × 2143 n comporte un facteur premier (2143) par lequel aucun 8…8 n'est divisible 4 8 7 4 77 774 444 22 × 112 × 37 × 43 × 101 seul 8888 est divisible par 101, mais il ne divise pas n 4 9 8 1 88 881 111 33 × 11 × 101 × 2963 n comporte un facteur premier (2963) par lequel aucun 9…9 n'est divisible 4 9 9 1 99 991 111 11 × 101 × 90001 n a un facteur premier de plus de k chiffres
5 3 1 9 1 111 199 999 72 × 13 × 41 × 157 × 271
seuls 30623, 33333, 36043, 38753 sont divisibles par 271, mais aucun des quotients de n par ces nombres ne donne un nombre 3…3
5 4 2 6 2 222 266 666 2 × 41 × 271 × 100003 n a un facteur premier de plus de k chiffres 5 5 3 5 3 333 355 555 5 × 29 × 41 × 271 × 2069 j = 5 mais n n'est pas divisible par 25 5 6 4 6 4 444 466 666 2 × 41 × 271 × 200003 n a un facteur premier de plus de k chiffres 5 7 5 9 5 555 599 999 41 × 271 × 500009 n a un facteur premier de plus de k chiffres 5 8 6 4 6 666 644 444 22 × 41 × 271 × 150001 n a un facteur premier de plus de k chiffres
5 8 7 4 7 777 744 444 22 × 41 × 139 × 271 × 1259 n comporte un facteur premier (1259) par lequel aucun 8…8 n'est divisible
5 9 8 1 8 888 811 111 32 × 41 × 103 × 271 × 863 seul 97519 est divisible par 863 mais il ne divise pas n 5 9 9 1 9 999 911 111 41 × 271 × 900001 n a un facteur premier de plus de k chiffres
6 3 1 9 111 111 999 999 3 × 7 × 11 × 13 × 37 × 293 × 3413 seuls 310583, 344713, 378843 sont divisibles par 3413;
n/310583 = 357753; ce couple répond à la question 6 4 2 6 222 222 666 666 2 × 3 × 7 × 11 × 13 × 37 × 1000003 n a un facteur premier de plus de k chiffres
6 5 3 5 333 333 555 555 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 19 × 23 × 37 × 1373 j = 5 mais n n'est pas divisible par 25 6 6 4 6 444 444 666 666 2 × 3 × 7 × 11 × 13 × 37 × 2000003 n a un facteur premier de plus de k chiffres
6 7 5 9 555 555 999 999 3 × 73 × 11 × 13 × 37 × 67 × 1523 il existe un couple de nombres répondant à la question:
714287 et 777777
6 8 6 4 666 666 444 444 22 × 3 × 7 × 11 × 13 × 37 × 557 × 2693 il existe 3 nombres avec x = 8 divisibles par 2693, mais aucun de ces nombres ne divise n 6 8 7 4 777 777 444 444 22 × 3 × 7 × 112 × 13 × 23 × 37 × 6917 seul 857708 est divisible par 6917, mais il ne divise pas n 6 9 8 1 888 888 111 111 33 × 7 × 11 × 13 × 37 × 67 × 13267 aucun nombre de la forme 9…9 n'est divisible par 13267 6 9 9 1 999 999 111 111 3 × 7 × 11 × 13 × 37 × 61 × 147541 aucun nombre de la forme 9…9 n'est divisible par 147541
Le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible est donc : 310583 et 357753.
