E329. Un nombre impossible à deux chiffres
Problème proposé par Jacques Bouchet
Soucieux d'occuper agréablement une fin d'après-midi pluvieuse, Diophante présente à ses deux amis Hippolyte et Théophile une liste de 19 nombres à deux chiffres.
11 14 20 23 31 39 45 46 48 56 58 63 69 72 77 80 85 92 94
Il choisit un nombre X de cette liste dont il donne le chiffre des unités à Hippolyte et le chiffre des dizaines à Théophile puis il leur demande de trouver X.
Hippolyte: "Je ne peux pas le savoir"
Théophile: "Moi non plus"
Hippolyte: "Je ne trouve toujours pas..."
Théophile: "Pourtant Diophante nous a fait comprendre que l'on pourrait trouver !"
Hippolyte: "Mais il ne nous a pas dit que ce serait rapide !!"
Théophile: "Continuons donc à chercher"
Hippolyte: "Ce n'est pas très amusant "
Théophile: "Non, bien sûr"
Hippolyte: "On serait bien mieux à siroter une cervoise chez Hyacinthe !"
Théophile: "Il faut d'abord trouver"
Hippolyte: "J'espère qu'on en prend le chemin"
Théophile: "Je l'espère aussi"
Hippolyte: "Je sens que l'on va toucher au but"
Théophile: "Tant mieux "
Hippolyte: "Hourrah !!...Enfin je sais"
Théophile: "Et moi aussi !!!...."
Et tous deux s'écrient: "C'est..."
Trouver X.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On dispose les 19 nombres dans un tableau dont les colonnes correspondent au chiffre des unités donné à Hyppolyte et les lignes au chiffre des dizaines donné à Théophile.
La première réplique (Hippolyte: "Je ne peux pas le savoir") nous indique qu’Hippolyte n’a pas le chiffre 7 qui seul lui aurait permis de conclure directement. On élimine donc la colonne 7 du tableau (a).
C’est aussi le raisonnement que tient Théophile. Sa seconde réplique (Théophile: "Moi non plus") nous permet de conclure qu’il n’a pas le chiffre 7 qui seul lui aurait alors permis de conclure directement. On élimine donc la ligne 7 du tableau (b).
Le même scénario se poursuit à mesure des répliques successives, et on élimine ainsi : colonne 2 (c), ligne 9 (d), colonne 4 (e), ligne 1 (f), colonne 1 (g), ligne 3 (h), colonne 9 (i), ligne 6 (j), colonne 3 (k), ligne 2 (l), colonne 0 (m), ligne 8(n).
A ce stade, la dernière réplique d’Hyppolyte (Hippolyte: "Hourrah !!...Enfin je sais") n’est possible que s’il a le chiffre 5. Il sait alors que le nombre X est 45. Théophile aboutit naturellement à la même conclusion à la réplique suivante.
H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T
0
1 11 14 f
2 20 23 l
3 31 39 h
4 45 46 48
5 56 58
6 63 69 j
7 72 77 b
8 80 85 n
9 92 94 d
m g c k e a i
H T H T H T H T H T H T H T H T a b c d e f g h i j k l m n 45 45
