A344 – Carrément brésiliens
Un entier naturel n est appelé "brésilien" s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q₁ : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q₂ : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Q₃ : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q₄ : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Solution par Patrick Gordon
Q₁ : L'entier 2014 est brésilien.
En effet, 2014 = 2 × (1 + 1006). Il s'écrit donc "22" en base b = 1006 (et b est bien < n – 1).
Pour la même raison, tout nombre non premier (ou presque) est brésilien.
Soit, en effet, n = uv avec 2 ≤ u < v. Alors n peut s'écrire "uu" en base b = (v – 1) et, comme par hypothèse v = n/u ≤ n/2, on a bien (v – 1) < (n – 1). Mais il faut en outre que "uu" en base b soit possible, ce qui requiert u < b donc u ≤ (v – 2).
Ainsi, parmi les nombres non premiers, ne sont pas brésiliens ceux qui sont :
a) soit (en principe) le produit de deux nombres u et v consécutifs – mais alors l'un d'entre eux est pair et la décomposition ci-dessus s'applique et n est donc brésilien;
b) soit le carré d'un nombre premier car alors v = u et "uu" en base b = (v – 1) est impossible;
c) soit le produit de deux nombres premiers consécutifs, ce qui n'est possible que pour 2 et 3, et 6 n'est pas brésilien.
Quant aux nombres premiers, ils ne peuvent être brésiliens que si (condition nécessaire) ils s'écrivent avec des "1", car un nombre brésilien n= "aaa…" en base b = a (1+b+b²…) est divisible par a et n'est donc pas premier si a > 1.
Nous reprendrons cette analyse pour répondre aux questions suivantes. En ce qui concerne les deux entiers les plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens, il faut les rechercher parmi les nombres premiers ou parmi les exceptions (b) et (c) ci-dessus – c’est-à-dire (b) seulement car 6 est bien loin de 2014.
Commençons par les deux nombres premiers les plus proches de 2014, à savoir 2011 et 2017.
La question est : 2011 (resp. 2017) peut-il être égal à (1+b+b²…+bk) avec b < 2010 (resp.
2016). À l'évidence il faut que k ≥ 2.
On peut donc chercher très rapidement au moyen d'un tableur, en se limitant à b < 45, car 1 + 45 + 45² = 2071 > 2016 > 2010.
On ne trouve pas de solution à l'équation (1+b+b²…+bk) = 2011 (resp. 2017).
Les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens sont donc 2011 et 2017.
Q₂
Les nombres pairs ≤ 2014 sont tous non premiers, sauf 2, qui n'est pas brésilien.
De la liste, il faut aussi supprimer 4, au titre de l'exception (b) ci-dessus et 6 au titre de l'exception (c).
Soit 3 nombres pairs à ôter d'une liste qui en comprend 1007. La réponse est donc 1004.
Q₃
On a vu que les nombres premiers brésiliens sont de la forme n = (1+b+b²…+bk).
Commençons avec k = 1 et faisons varier b.
Avec b = 2, on trouve 3, qui ne convient pas car on n'a pas b < n – 1.
Avec b = 4, on trouve 5, qui ne convient pas pour la même raison et o voit aisément qu'il en va de même quel que soit b.
Passons à k = 2. On cherche des nombres premiers de la forme n = (1+b+b²).
Le plus petit est 7, obtenu avec b = 2. On trouve ensuite 13 avec b = 3.
Les nombres cherchés sont 7 et 13.
Q₄
Cette fois, on cherche n = a (1+b+b²…+bk). La recherche peut se faire au moyen d'un tableur, en faisant varier b et, pour chaque b, en faisant varier a impair < b mais non nécessairement = 1.
Il y 21 entiers impairs compris entre 3 et 43 dont le carré est < 2014.
Parmi les 13 entiers impairs qui sont des nombres premiers 3,5,7,...,43, seul 11 est brésilien avec la solution le nombre 121 =11² = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 qui s’écrit donc 11111 en base 3.
Les autres carrés de nombres composés sont brésiliens.
Par exemple 15 = 3*5 qui s’écrit 33 en base 4 ou encore 35 = 5*7 qui s’écrit 55 en base 6.
Au total il y a 21 – 13 + 1 = 9 carrés parfaits impairs < 2014 qui sont brésiliens.
