Enoncé A344 (Diophante) Carrément brésiliens
Un entier naturel n est appelé « brésilien» s’il existe un entier b, 1< b <
n−1, tel que la représentation de nen base best un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q1 : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers lse plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q2 : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤2014 qui sont brésiliens ? Q3 : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q4 : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs≤2014 qui sont brésiliens ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
2014 s’écrit 22 en base 1006, ce qui en fait un nombre brésilien.
Soit pq un nombre composé, avec p−1 > q >1 ; ce nombre est brésilien, car il s’écrit en base p−1 avec deux chiffres q. C’est le cas de tous les entiers de 2012 à 2016.
Les nombres premiers 2011 et 2017 n’offrent pas cette possibilité. Pour la preuve qu’ils ne sont pas brésiliens, voir la question 3.
Question 2
Soit 2kun nombre pair ; il s’écrit 22 en basek−1, pour autant quek−1>2.
C’est le cas de tous les nombres pairs >6 ; il y en a 1004 (4≤k≤1007) qui sont ≤2014. Mais 2, 4 et 6 ne sont pas brésiliens.
Question 3
Tout nombre brésilien admet le chiffre répété comme diviseur. Ainsi un nombre premier brésilien s’écrit avec des chiffres 1 (“rep-unit”, ou multi- as). Le nombre de ces chiffres est lui-même premier, car le multi-as de pq chiffres est divisible par les multi-as de p chiffres et de q chiffres. Pour
la même raison de factorisation de apq −1, la base b ne peut être une puissance parfaiteap.
Comme 211= 2048, un nombre premier brésilien<2047 (qui est brésilien mais non premier) s’écrit avec 3, 5 ou 7 chiffres 1 (le cas de 2 chiffres 1 est exclu par la règleb < n−1).
7 chiffres : 127 (base 2), 1093 (base 3).
5 chiffres : 31 (base 2).
3 chiffres : 7 (base 2), 13 (base 3), 31 (base 5), 43 (base 6), 73 (base 8), 157 (base 12), 211 (base 14), 241 (base 15), 307 (base 17), 421 (base 20), 463 (base 21), 601 (base 24), 757 (base 27), 1123 (base 33), 1483 (base 38), 1723 (base 41).
Soit 18 premiers brésiliens<2047, dont les plus petits sont 7 et 13.
Question 4
Si la racine du carré est un nombre composépq, le carré s’écrit avec deux chiffresp en basepq2−1, il est donc brésilien.
Restent les carrés de nombres premiers. S’ils sont brésiliens, le chiffre répété est 1 ; le nombre de chiffres est lui aussi premier, car une factorisation conduirait à une factorisation du carré en facteurs inégaux (exemple : 1111 = 101×11).
Le nombre de chiffres n’est pas 3, car a2 = b2+b+ 1 conduirait à 3 = 4a2−(2b+ 1)2, puisa= 1, b= 0.
Le nombre de chiffres peut être 5 ; le carré étant b4+b3 +b2+b+ 1, la racine du carré est comprise entre b2 +b/2 et b2 +b/2 + 1 ; c’est donc b2+b/2 + 1/2, et l’identification conduit à b = 3 ; le carré est 121, carré de 11.
Il n’y a pas d’autre multi-as carré impair : cf. mon article “A la recherche des multi-as carrés” dans Quadrature no27 (janvier-février-mars 1997).
Les 9 carrés parfaits impairs brésiliens<2014 sont donc ceux de 9, 11, 15, 21, 25, 27, 33, 35 et 39.
