A345. Les nombres vampires
Un nombre vampire V est un nombre naturel à kn chiffres qui a les caractéristiques suivantes : - il peut être factorisé en k nombres entiers x1, x2, ... appelés les crocs,
- chaque croc a n chiffres et l’un des k crocs au moins ne se termine pas par un zéro, - le nombre V contient tous les chiffres de x1, x2,...
Par exemple pour k = 2 et n = 2, on a 1827 = 21*87 et pour k = 2 et n = 3, on a 146137 = 317*461 Avec l’aide d’un automate pour les questions Q1 à Q4.
Q1 Trouver le plus petit nombre vampire à six chiffres caractérisé par trois crocs distincts.
Q2 Trouver le plus petit nombre vampire qui est un carré parfait.
Q3 Trouver le nombre vampire à 12 chiffres caractérisé par quatre crocs distincts qui sont des nombres premiers et utilisent les 10 chiffres de 0 à 9.
Q4 Trouver un nombre vampire à six chiffres caractérisé par deux paires distinctes de crocs.
Q5 Trouver au moins une formule générale qui permet de générer une infinité de nombres vampires.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Par macro Excel, on trouve que le plus petit nombre vampire à six chiffres et 3 crocs distincts est 31*41*90 = 114 390.
Sans zéros, 21*61*95 = 121 695 Q2
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_199.htm Citation :
The least example of a squared PVN is : 2 459 319 153 459 529 = 49 591 523² Q3
D'après la liste de 40 solutions figurant dans
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_199.htm question 4
541*607*883*929 = 269 378 154 809 est le seul où tous les chiffres sont représentés.
Q4
OEIS http://oeis.org/A048936 125460 = 204*615 = 246*510 Q5
http://mathworld.wolfram.com/VampireNumber.html Citation :
General formulas can be constructed for special classes of vampires, such as the fangs x=25.10k+1
y=100(10k+1+52)/25, giving the vampire
v=xy
=(10k+1+52)10k+2+100(10k+1+52)/25
=x".10k+2+y
=8(26+5.10k)(1+25.10k)
where x" denotes x with the digits reversed (Roush and Rogers 1997-1998).
