Enoncé A353 (Diophante) Les entiers homogéniques
Deux entiers naturels sont appelés par convention « homogéniques
» s’ils ont les propriétés suivantes : – ils sont distincts,
– l’un et l’autre ontkchiffres,
– le même chiffre commence et termine les deux entiers, – lesk premiers chiffres de leur produit sont identiques, – lesk derniers chiffres de leur produit sont identiques.
Trouver le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Le chiffrecde début et de fin des deux entiers :
– n’est pas 1 ou 2, car le produit de deux nombres commençant par ce chiffre n’aurait que 2k−1 chiffres ;
– n’est pas 5, car le produit de deux nombres se terminant par 5 se termine par 25 ou 75 ;
– n’est ni 4 ni 6, car le produit de deux tels nombres a 6 pour chiffre des unités, et un impair comme chiffre des dizaines.
Pour le produit, les possibilités sont 1. . .9 (si c = 3), 5. . .9 (si c = 7), 6. . .4 ou 7. . .4 (si c = 8), et 8. . .1 ou 9. . .1 (si c = 9).
Chaque fois, c’est le produit de (10k−1)/9 par un nombrea·10k+b où les chiffresaetbsont séparés par k−1 zéros.
Je factorise ces deux nombres en vue de regrouper, si possible, leurs facteurs en deux entiers homogéniques, ayantccomme premier et dernier chiffre.
Il s’avère que, pourk < 6, les facteurs disponibles ne permettent pas d’obtenir ces entiers ; quand le dernier chiffre est c, c’est le premier chiffre ou le nombre de chiffres qui est en défaut. Exemple k= 5, 11111 = 41·271, 100009 = 72·13·157 ; on n’a 3 comme chiffre des unités qu’avec 13 et 72·157 = 7693 ; quelle que soit la façon dont on les associe aux facteurs de 11111, impossible d’obtenir deux nombres de 5 chiffres ; au mieux 1111199999 = 315413·3523.
Pour k= 2, la factorisation de 7744 en deux facteurs à 2 chiffres est 88·88, entiers non distincts.
Pourk= 6, on trouve 5000009 = 7·714287, d’où le couple homo- génique 714287·777777 = 555555999999.
Mais avec 1000009 = 293·3413 et 111111 = 91·1221, on obtient 111111999999 = 357753·310583, plus petit produit.
