Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux.

Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux.

Référence : Oraux X-ENS, Algèbre 1.

Serge Francinou , Hervé Gianella , Serge Nicolas 2011-2012

Prérequis :

– fonction de Möbius – formule du crible

On rappelle la définition de la fonction de Möbius :

Définition 1

La fonction de Möbius est la fonctionµ : N^∗→Zdéfinie par : – µ(1) = 1

– µ(p1· · ·pr) = (−1)^rsi lespi sont des nombres premiers distincts – µ(n) = 0sinon (sinest divisible par le carré d’un nombre premier).

On rappelle de plus la formule du crible :

Proposition 2 : Formule du crible SoientE1, . . . , Ek des ensembles finis. Alors :

Card

k

[

i=1

Ei

!

= X

∅6=I⊆[1,k]

(−1)^1+CardICard \

i∈I

Ei

! .

On note aussirn la probabilité que deux entiers choisis au hasard dans[1, n] soient premiers entre eux.

On a alors :

Théorème 3 On a lim

n→∞rn= 6 π².

Démonstration. Appellons, pour toutn>1,

An={(a, b)∈[1, n]²| a∧b= 1}.

On a doncrn= ^Card_n2^An.

On notep1, . . . , pk la liste des nombres premiers inférieurs àn, etUi={(a, b)∈[1, n]²|pi|aetpi|b}.

1

On a alors l’identité :

An =

k

[

i=1

Ui

!^c .

Lemme 4 On a

CardAn=

n

X

d=1

µ(d)En d

² .

Démonstration. Soit I ⊆ [1, k] non vide. Alors le cardinal de l’intersection T

i∈IUi est exactement égal au nombre de couples de multiples strictement positifs deQ

i∈Ipi inférieurs àn: Card \

i∈I

Ui

!

=E n

Q

i∈Ipi

2

.

On peut donc utiliser la formule du crible : Card

k

[

i=1

Ui

!

= X

∅6=I⊆[1,k]

(−1)^1+CardICard \

i∈I

Ui

!

= X

∅6=I⊆[1,k]

(−1)^1+CardIE n

Q

i∈Ipi

²

Donc on a :

CardAn=n²− X

∅6=I⊆[1,k]

(−1)^1+CardIE n

Q

i∈Ipi

²

=

n

X

d=1

µ(d)En d

²

En effet : on veut ne garder dans la somme que les produits de nombres premiers distincts, d’où le µ(d) pour

"enlever" les autres, etn² correspond àd= 1.

D’où le résultat. ♦

On peut en déduire immédiatement que

rn= 1 n²

n

X

d=1

µ(d)En d

² .

L’intuition nous indique ici de remplacer le terme_n¹₂E ⁿ_d²

par son équivalent_d¹₂ (on commence à voir apparaître ζ(2). . .).

On estime la différence entre les deux sommes :

rn−

n

X

d=1

µ(d) d²

=

n

X

d=1

µ(d) 1

n²En d

²

− 1 d²

.

2

On remarque queE(n/d)> n/d−1, et donc on a : 1

n² − 2 dn< 1

n²En d

²

− 1 d² 60.

Donc, par inégalité triangulaire :

rn−

n

X

d=1

µ(d) d²

6

n

X

d=1

2 dn+ 1

n²

6 2 n

n

X

d=1

1 d+1

n

=O logn

n

Ainsi, on a l’identité :

n→∞lim rn =

∞

X

d=1

µ(d) d² . Calculons cette somme. Pour cela, calculons à tout hasard

∞

X

d=1

µ(d) d² ×

∞

X

n=1

1 n².

Les deux séries convergent absolument, et donc, par théorème de Fubini :

∞

X

d=1

µ(d) d²

! _∞ X

n=1

1 n²

!

= X

d,n>1

µ(d) (dn)²

= X

d>1, d|k

µ(d) k²

=X

k>1

X

d|k

µ(d) p²

=X

k>1

1 k²



 X

d|k

µ(d)





Il ne nous manque ici plus qu’un petit lemme sur la fonction de Möbius :

Lemme 5 On a

X

d|n

µ(d) =

1 sin= 1 0 sin>2.

Démonstration. NotonsS(n) la somme considérée. Il est clair queS(1) = 1. Soit doncn>2, et considérons sa décomposition en facteurs premiers :

n=

k

Y

i=1

p^α_iⁱ,

3

où lespi sont des nombres premiers distincts, etαi des entiers strictements positifs.

Les seuls termes non nuls dansS(n) sont des produits de pi, sans multiplicités. Pour chaquej,na exactement C_k^j diviseurs de cette forme, produits dei pj. D’où

S(n) =

k

X

j=0

C_k^j(−1)^j

= (1−1)^k

= 0

♦ On conclut avec le lemme, et la bien connue valeur deζ(2).

4