Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.

(1)

Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.

Problématique :

Les mathématiciens, dés l'antiquité grecque, se sont intéressés aux solutions entières des équations du type ax+by=c , où toutes les lettres sont des nombres entiers. On appelle ces équations des équations diophantiennes, du nom du premier mathématicien (Diophante d'Alexandrie – III

^eme

siècle avant notre aire) dont on a encore trace des recherches concernant ces équations.

Objectifs :

m4. PGCD de deux entiers

m5. Entiers premiers entre eux. (def).

m6. Théorème de Bezout.

m7. Théorème de Gauss.

Activité d'approche n°1

Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?

...

(2)

Cours n°1

Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.

I) PGCD de deux entiers.

On rappelle l'

Axiome n°1 :

Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.

Définition n°1 : PGCD

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) les ensembles de diviseurs respectifs de a et b. On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de …...

On le note PGCD(a,b).

Remarque :

Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).

Propriété n°1

1. Si a=0 et b≠0 , PGCD(a,b)=...

2. Si a=1 et b≠0, PGCD(a,b)=...

3. Si b divise a, alors PGCD(a,b)=...

4. PGCD(ka,kb) = k PGCD(...) Démonstration

1. b divise 0, donc …...

2. 1 n'est divisible que par …...

3. ...

...

4. Soit d=PGCD(a,b) et d'=PGCD(ka,kb).

(3)

kd divise d' :

...

Donc il existe k' tel que d'=...

d' divise aussi …..., donc k'... divise …..., donc k'd divise

… et … , donc k'd divise aussi … Donc k'=...

Donc d'=...

Exemple n°1

Calculer le PGCD de 68 et 51.

...

Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)

Soient a et b deux nombres entiers naturels non nuls tels que b ne divise pas a.

Alors :

1) La suite des divisions euclidiennes de a par b, puis de b par le reste de la division précédente noté r

0

, puis de r

0

par le reste de la division précédente noté r

1

, etc. finit par …...

2) Le dernier reste non nul est le …...

Démonstration a = bq

0

+ r

0

avec b>...≥....

b=r

0

q

1

+ r

1

avec …...

La suite r

0

, r

1

,...est constituée d'..., et strictement

…... donc …...

Soit n

0

le rang pour lequel …...

On a r

n

0+1

=... et donc r

n

0

divise …...

D = PGCD(a,b) et d = PGCD(b,r

0

)

→ D ≤ d :

D divise …. et …. . Or r

0

=...donc D …...

Donc D divise le …...

(4)

Donc …...

→ d ≤ D :

d divise …. et …. . Or a = …... donc d …...

Donc d divise le …...

Donc …...

Donc d … ....

De proche en proche, on a donc : PGCD ( …... ) =PGCD (…...) Or r

n

0

divise r

n

0-1

, donc PGCD(r

n 0-1

,r

n

0

)=...

Donc ...

Exemple n°2

Calculer le PGCD de - 1368 et 1351 .

...

Définition n°2 : premiers entre eux

Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...

Exemple n°3

1368 et 1351 sont-ils premiers entre eux ?

...

(5)

Définition n°3 : PPCM

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

L'ensemble des multiples strictement positifs communs à a et à b admet un plus petit élément m, appelé plus petit commun multiple. On le note

m=PPCM(a,b).

Exemple n°4

Calculer PPCM(18;12).

...

Calculer PPCM(24;40)

...

Propriété n°3

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

Si b divise a, alors PPCM(a,b)=....

Démonstration

Si b divise a, a est un …...

Et a est le plus petit multiple de ...

Donc PPCM(a,b)=...

Exercice n°1

Ex.23 et 24 p.62 Exercice n°2

Ex.11 p.62 Exercice n°3

Ex.32 p.63 Exercice n°4

Ex.97 p.67

(6)

Activité d'approche n°2

1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de a = 3456 et b = 5000, en écrivant les égalités successives.

...

2. En utilisant ces égalités, démontrer qu'il existe deux nombres u et v relatifs tels que au + bv = PGCD(a,b).

...

3. Déduire de ce qui précède une solution relative de l'équation ax + by = 24

...

(7)

...

Cours n°2

II) Théorème de Bezout

Propriété n°4 (égalité de Bezout)

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls . Alors il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = PGCD(a,b).

Démonstration

Soit G l'ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme ma + nb.

G est une partie de N non vide : …...

G admet donc un plus petit élément d = au+bv. (cf axiome n°1)

→ PGCD(a,b) ≤ d :

...

→ d ≤ PGCD(a,b) : a = dq +r avec 0 ≤ r < d.

Donc r = ... = …...= a(...)+b(...) Donc r appartient à ….

Or r < d.

Donc r = ... Donc d …... a.

De même, d …... …. (même raisonnement) Donc d ….. PGCD(a,b).

Donc

→ d ….. PGCD(a,b).

(8)

Propriété n°5 (théorème de Bezout)

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Démonstration (ROC)

→ Si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux, D=PGCD(a,b)=...

D'après l'égalité de Bezout ...

→ Si deux entiers naturels a et b sont tels qu'il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = 1 .

PGCD(a,b) divise ….. et divise ….. , donc PGCD(a,b) divise …...

Donc PGCD(a,b) vaut …

Exemple n°5

Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tels que 59x + 27y = 1.

...

Corollaire n°1 de la propriété n°5

L'équation ax + by = k admet des solutions entières si, et seulement si, k est un

…...

Démonstration S

→ i k est un multiple de PGCD(a,b) : il existe k' tel que …...

D'après la propriété n°4, il existe .…...…...

Choisissons x=…... et y = …... : ce sont alors des solutions de

...

S i

→ k n'est pas un multiple de PGCD(a,b) :

(9)

PGCD(a,b) divise a et b, donc divise …... . Ce qui est contradictoire.

Exemple n°6

L'équation 4x + 7y = 2 admet-elle une solution dans Z ?

...

L'équation 4x + 8y = 2 admet-elle une solution dans Z ?

...

Corollaire n°2 de la propriété n°5

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d leur PGCD.

1) Soient a' = a

d et b' = b

d . Alors a' et b' …...

2) Réciproquement, s'il existe d tel que a' = a

d et b' = b

d soient

…...…..., alors d est

…...

Démonstration :

1) Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d leur PGCD.

La propriété n°4 donne : il existe u et v tels que :...

En divisant chaque membre par d :...

Donc, d'après la propriété n°5 : ...

...

2) Supposons que a' et b' soient premiers entre eux.

→ d ≤ PGCD (a,b) :

d …... a et …..., donc …...

→ PGCD (a,b) ≤ d :

a' et b' soient premiers entre eux, donc il existe …...

donc d = au+...

Mais PGCD(a,b) divise a et …..., donc …...

...

→ Donc d = …...

Exemple n°7

Soit n un entier naturel. Montrer que les nombres 3n + 5 et 5n + 8 seront

(10)

toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur de n choisie.

...

Exemple n°8

Soit n un entier naturel. Montrer que la fraction 6 n – 3

3 n – 2 est irréductible.

...

Exercice n°5

Ex.33 et 34 p.63

Exercice n°6

Démontrer que, pour tout entier relatif k , 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.

Exercice n°7

Prouver que la fraction n

2 n+1 est irréductible pour tout entier naturel n .

Exercice n°8*

Prouver que la fraction 2 n +1

n(n +1) est irréductible pour tout entier naturel n.

Exercice n°9

Déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que : 221x – 331y = 1

Cours n°3

III) Théorème de Gauss.

Propriété n°6 (Théorème de Gauss)

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et c un entier relatif.

Si a divise bc et si a est premier avec b , alors …...

Démonstration (ROC)

a et b sont premiers entre eux, donc …...

Donc, acu + …... = …

(11)

a divise acu.

a divise …...., donc a divise …...

Donc a divise ….

Corollaire n°1 de la propriété n°6

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et p un nombre premier.

Si p divise ab, alors p divise …. ou …...

Démonstration

Si p ne divise pas a, a et p sont premiers entre eux. Donc …...

…...

...

Remarque :

Si p n'est pas premier, il y a des cas où p divise le produit tout en ne divisant pas chaque facteur : p=21, a=9 et b=49.

Corollaire n°2 de la propriété n°6

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, et c un entier relatif.

Si c est divisible par a et b, alors c est …... ab.

Démonstration

a et b sont premiers entre eux, donc …...

Donc, acu + …... = …

a divise c, donc il existe k tel que …...

b …...

Donc acu + …... peut s'écrire : …...

Comme ab divise …... et …..., ab divise c.

Corollaire n°3 de la propriété n°6

Soient a,b,c et d quatre entiers relatifs non nuls.

On suppose que ab=cd.

Si a et c sont premiers entre eux, alors a divise ... et c divise …..

(12)

Démonstration

Puisque ab=cd, a divise cd (le résultat donne b) Comme a est premier avec c, a divise d (théorème de Gauss)

Exemple n°9

Soit A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2). Montrer que A est divisible par 10.

...

Exemple n°10

Résoudre l'équation 17x – 33y = 1.

1. On cherche une solution particulière (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5) :

...

(13)

2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre :

...

3. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique le corollaire n°3 : ...

...

4. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z :

...

Exemple n°11

Résoudre l'équation 15x + 8y = 5.

1. On cherche une solution particulière à l'équation 15x + 8y = 1 (soit

intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5), et on multiplie cette solution pour trouver une solution particulière de départ :

...

2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à

membre :

(14)

...

3. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique le corollaire n°3 : ...

...

4. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z :

...

Exercice n°10

En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les couples d'entiers relatifs (a,b) qui vérifient : 33a –45b = 0.

Exercice n°11

Ex.36 p.63

Exercice n°12

Ex.37 p.63

Exercice n°13*

Ex.93 p.66

Exercice n°14*

Ex.89 p.66

Exercice n°15**

Sujet A p.73

(15)

Exercice n°16**

Sujet C p.73

Cours n°4

IV) Conséquences du théorème de Gauss

Propriété n°7 (Relations entre PPCM et PGCD) (admis)

Soient a et b deux entiers naturels.

1) On a : ab = …... × …...

2) Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a,b)=...

Exemple n°12

Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b tels que ab=6480 et PPCM(a,b)=540.

1. On calcule le pgcd de a et b :

...

2. On en déduit le produit a'b' des quotients de a et b par leur pgcd :

...

3. On regarde toutes les possibilités d'entiers pour a' et b' et on en déduit toutes les possibilités pour a et b :

...

Propriété n°8 (Petit théorème de Fermat) (admis)

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors

a

^p-1

– 1 est divisible par p.

(16)

Corollaire de la propriété n°8

Si p est un nombre premier et a un entier naturel, alors a

^p

 a (p)

Démonstration

Si a=0, …...

Sinon : a

^p

– a = a ( …...) . Donc …... divise a

^p

– a .

→ Si a n'est pas un multiple de p : on applique le petit théorème de Fermat :

…...

Par transitivité, p divise …... et donc a

^p

 …. (p).

→ Si a est un multiple de p : p divise …. et a divise …...

Par transitivité, p divise …... et donc a

^p

 …. (p).

Exemple n°13

Montrer que n

¹³

– n est divisible par 39.

...

Exercice n°17

Ex.47 p.63

(17)

Exercice n°18

Ex.50 et Ex.51 p.63

Exercice n°19

Ex.107 p.68

Exercice n°20

Ex.112 p.68

Dans les exercices suivants, à chaque lettre de l'alphabet, on associe son ordre dans l'alphabet, en commençant par 0 : A → 0, B → 1, etc.

Exercice n°21* : Cryptographie n°1 : le chiffrement affine**

On associe au n° d'ordre x un nombre y tel que y  ax + b (26).

Partie A

On choisit a = 2 et b=7.

1. Montrer que le chiffrement de MATH donne FHTV.

2. Chiffrer le mot BOLIDE.

3. On veut trouver une méthode pour déchiffrer. Montrer qu'il y a un problème.

Partie B

1. Montrer que, avoir un chiffrement affine fonctionnel ou non revient à étudier la divisibilité du produit a(x – x') par 26, x et x' étant les n° d'ordre de deux lettres distinctes.

2. Quelle condition faut-il sur a pour que x – x' soit divisible par 26 ? Justifier.

3. Proposer un chiffrement efficace et un exemple de déchiffrement.

Exercice n°22* : Cryptographie n°2 : le chiffrement à clé publique.**

Problème n°6 p.51

(18)

Indices et résultats

Ex.n°1 (Ex.23 et 24 p.62) : ex23 : a. Non, b. Non, c. Oui, d. Non – ex24 : a. Non, b.

Non, c. Oui, d. Oui.

Ex.n°2 (Ex.11 p.62) : 246 ; 6617 2839

Ex.n°3 (Ex.32 p.63) : a. (3;24),(6;21),(9;18),(12;15),(15;12),(18;9),(21;6) et (24;3) b. (5;10), (10,5) c. (16;12)

Ex.n°4 (Ex.97 p.67) : (6;120), (24;30), (30;24) et (120;6) Ex.n°5 (Ex.33 et 34 p.63) : Par tâtonnement...

Ex.n°6 : -2×...+7×...

Ex.n°7 : -2×.... +1×...

Ex.n°8* : Prouver que 2n+1 est premier avec n , puis que 2n+1 est premier avec ….

Ex.n°9 : (3 ;-1)

Ex.n°10 : 11a=15b et th. de Gausss.

Ex.n°11 (Ex.36 p.63) : (5 ;-8), et (5+13k,-8-21k) Ex.n°12 (Ex.37 p.63) : (9 ;-3), et (9+5k,-3-2k)

**Ex.n°13* (Ex.93 p.66) : 1.** n doit être un multiple de 5 2. x=1+4k et y=8-k

**Ex.n°14* (Ex.89 p.66) : 1.** (1;2) et (5;9) ; (1;0) et (4;6) 2. (1+4k;2+7k) 3. (4+k';6+2k') 4.

(2;5) 5. (9;16)

Ex.n°15 (Sujet A p.73) : P.A.1.11×(-7)-26×(-3)=1 2. (19;8) P.B.1. W devient Q 2.a.x=19 2.b. y=11x+8(26) et 19y=x+22(26) … W devient G.**

Ex.n°16 (Sujet C p.73) : P.B. 1.a. (-2;1) 1.b. x = -2 + 47k et y = 1 – 23k avec k** entier. 1.c. 23x = 1 – 47y, 23x ≡ 1 [47], 1 ≤ x ≤ 46 , 1 ≤ -2 + 47k ≤ 46, donc k=1 et x=45.

3.b. p=1 et p=46.

Ex.n°17 (Ex.47 p.63) : PGCD(x;y)=5 ; (5;130),(10;65),(130,5) et (65;10)

Ex.n°18 (Ex.50 et Ex.51 p.63) : Ex50 : 2. n ne doit pas être divisible par 307. Ex51 : 1. n non divisible par 11. 2. non divisible par 7 3. non divisible par 11 et non divisible par 7.

Ex.n°19 (Ex.107 p.68) : Utiliser le corollaire de la propriété n°8

Ex.n°20 (Ex.112 p.68) : Z (Soit A=x

⁵

– x. 2 est premier, donc x

²

≡x[2] … x

⁵

≡x[2], donc A est... De même, prouver que A est divisible par 3 et 5 et en déduire que A est divisible par...)

Ex.n°21* : 2. JJDXNP Partie B.2.a doit être premier avec 26.**

Ex.n°22* : 3.a. clef publique : (369;58) – clef privé : 70. 3.d.116-0-111-116 et 3.e.**

OK.