4 Calcul du PGCD de deux nombres

P REMIERS ALGORITHMES

1 Introduction

OBJECTIF :L’objectif de ce tp est de rendre l’élève capable :

• concevoir un algorithme répondant à un problème précisément posé

• traduire enPythonun algorithme en pseudocode

• comparer de façon expérimentale les vitesses de convergence de différents algorithmes

Q - 1 : Créer un fichier PCSI-2-NOM-Prenom-Tp-Algo-Prog-1.py pour y répondre aux questions suivantes. Ce fichier sera envoyé (pour évaluation) dans un message ayant pour objet PCSI-2-Tp-Algo-Prog-1.

2 Quelques problèmes simples pour démarrer

2.1 Pair ou impair

Q - 2:Ecrire une fonctionParite(n)qui prend comme argumentnun entier naturel et qui retournepair si le nombre est pairimpairsinon.

2.2 Devinette

La bibliothèquerandompermet de générer de façon aléa- toire des nombres. On placera donc en préambule du fichier les lignes ci-contre :

import random as r

La fonctionrandint(a,b)renvoie de façon aléatoire, un entierndans l’intervalle~a,boùaetbsont des entiers, tels quea<b.

La fonctionrandom()renvoie un nombre appartenant à [0,1].

Soit la fonctionDevinette(n)qui donne au joueur le plaisir de rechercher un nombre choisi par l’ordinateur :

• le programme choisit un nombrex∈Nentre 0 etn(n∈N).

• le programme demande au joueur de devinerx

• le joueur propose un nombrer

• le programme lui indique alors sirest supérieur, inférieur ou égale à x

• en cas d’égalité, le programme lui indique le nombre de coups utilisés pour trouverx

• sinon, le programme propose au joueur de recommencer ou de taperqs’il veut arrêter.

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Q - 3:Ecrire la fonctionDevinette(n).

Cette fois les rôles sont inversés. Le joueur donne un nombrexque le programmeDevin(x,n)doit trouver entre 0 etn. Ce programme est bicéphale, car il recherche le nombrexmais s’occupe aussi d’indiquer si ses propositionsrsont supérieures, inférieures ou égales à x. Évidemment, il n’a pas de droit de tricher. Il indique au joueur toutes les propositionsr qu’il a faites, dans l’ordre chronologique.REMARQUE:penser à la fonctionappend()

Q - 4:Construire un programmeDevin(x,n). Effectuer un test pour x=4et n=10

Q - 5:Déterminer le nombre de coups nécessaires à votre programme pour déterminer x, pour n= 10^mavec m∈~1,8.

>>>

Ok en 3 coups pour x= 4 et n= 10 Ok en 6 coups pour x= 4 et n= 100 Ok en 8 coups pour x= 4 et n= 1000 Ok en 12 coups pour x= 4 et n= 10000 Ok en 16 coups pour x= 4 et n= 100000 Ok en 18 coups pour x= 4 et n= 1000000 Ok en 22 coups pour x= 4 et n= 10000000 Ok en 23 coups pour x= 4 et n= 100000000

REMARQUE: pour que le programme converge rapidement vers la valeur, il faut faire comme les 6ème qui jouent à ce jeu en récréation., i.e, faire varier les bornes d’un intervalle dont on prend une valeur centrale. . .

On propose dans la partie suivante de faire de même mais pour résoudre une équation du type f(x)=0.

3 Résoudre f (x) = 0

On propose deux algorithmes pour résoudre l’équation f(x)=0 où

PROBLÈME: Soit f, une fonction continue et monotone sur un intervalle [a,b] et pour lequel, f(a).f(b) ≤ 0. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, par continuité, il existex₀∈[a,b] tel que f(x₀)=0. On propose deux algorithmes pour trouver une valeur approchée dex₀:

3.1 Présentation de deux méthodes de résolution

3.1.1 Méthode par Dichotomie

On posea₀=aetb₀. Soitc₀le milieu de [a0,b₀].

• si f(c₀)=0, on s’arrête là, on a la solution de l’équation

• si f(a0).f(c0)<0 alorsx₀se trouve dans l’intervalle ]a0,c₀[. On posea₁=a₀ et b₁=c₀

• sinon, c’est f(c0) et f(b0) qui sont de signes contraires. On cherche alorsx₀dans l’intervalle ]c0,b₀ce qui conduit à poser :a₁=c₀ et b₁=b₀

et on recommence. . .

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Méthode par Dichotomie

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

f(x)=e⁰(x)

a₁=a₂=a₃

b₁ c₁=b₂

c₂=b₃=b₄

c₃=a₄

x

3.1.2 Méthode de Newton

On part d’une première valeurx₀et on effectue un développement limité de f à l’ordre 1 : f(x1)= f(x0)+ f⁰(x0).(x₁−x₀)+o(x₁−x₀)

On suppose alors quex₁est solution du problème. On négligeo(x₁−x₀) et on en déduit :

x₁= x₀− f(x0) f⁰(x0) On recommence avec le nouveau candidat jusqu’à convergence.

Graphiquement, cela revient à prendre la tangente à la courbe enx₀et se déplacer le long de cette tangente jusqu’à croiser l’axe des abscisses enx₁. Si la fonction est suffisammentbelle, au voisinage d’un zéro, la convergence est quadratique.

Méthode de Newton

0 0.1 0.2 0.3 0.4

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f(x)=e⁰(x)

x₀ x₁ x₂ x₃

x

3.2 Questions

Q - 6:Construire une fonction Dicho(f,a,b,eps)permettant d’approcher une (ou la) solution du pro- blème f(x)=0sur[a,b]avec une toléranceepssur l’image.

Q - 7 :Construire une fonctionNewton(f,fp,x0,eps)permettant d’approcher une (ou la) solution du problème f(x)=0en partant de x0avec une toléranceepssur l’image.

Q - 8:Comparer le nombre d’itérations nécessaires pour résoudre f(x)=x²−2, sur l’intervalle[0,100]ou en partant de x₀=100, avec une toléranceε=10⁻⁸.

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4. CALCUL DUPGCDDE DEUX NOMBRES

On cherche à observer la vitesse de convergence des deux algorithmes précédents en fonction du nombre d’itérations.

Q - 9:Modifier les deux fonctions précédentes pour obtenir, en fonction du nombre d’itérations n, la valeur absolue de l’erreurε(n)entre la valeur du candidat (ci pour la dichotomie et xi pour Newton) à l’itération n et la valeur exacte de la solution du problème (√

2pour le problème précédent).

Q - 10:Tracer|ε(n)|etln (|ε(n)|)en fonction de n. Si une droite apparaît, faire une régression pour identifier la relation.

Méthode par Dichotomie Méthode de Newton

Algorithm 1Dichotomie

entrée: f une fonction, a et b les bornes et ε la tolérance

résultat:xtel que|f(x)| ≤ε

1: ai,bi,ci←a,b,(a+b)/2

2: fa,fc←f(ai),f(ci)

3: tant queabs(fc)>εfaire

4: sifa. fc≤0alors

5: bi←ci

6: sinon

7: ai,fa←ci,fc

8: fin si

9: ci←(ai+bi)/2

10: fc←f(ci)

11: fin tant que

12: renvoi: ci

Algorithm 2Newton

entrée:f et fp, une fonction et sa dérivée, x0 une valeur de départ etε, la tolérance

résultat:xtel que|f(x)| ≤ε

1: xi←x0

2: fx←f(xi)

3: tant queabs(fx)>εfaire

4: fpx←fp(xi)

5: sifpx=0alors

6: break

7: fin si

8: xi←xi-fx/fpx

9: fx←f(xi)

10: fin tant que

11: renvoi: xi

4 Calcul du PGCD de deux nombres

PROBLÈME:Déterminer le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation.

Algorithm 3Fonction PGCD PGCD(a,b)

1: u←a

2: v←b

3: tant que u,vfaire

4: si u > valors

5: u←u-v

6: sinon

7: v←v-u

8: fin si

9: fin tant que renvoi: u

Algorithm 4Fonction PGCD : algo- rithme d’Euclide

Euclide_PGCD(a,b)

1: répéter

2: r←a mod b

3: a←b

4: b←r

5: jusqu’àr == 0 renvoi: a

Algorithm 5Fonction PGCD : algo- rithme d’Euclide récursif

Euclide_PGCD_recursif(a,b)

1: sib==0alors

2: renvoi: a

3: sinon

4: renvoi:

Euclide_PGCD_recursif(b,a mod b)

5: fin si renvoi: a

Q - 11:Construire trois fonctionsPGCD(a,b),Euclide_(a,b)etEuclide_recursif(a,b)à partir des 3 algorithmes vus en cours.

Q - 12:Comparer le nombre d’itérations nécessaires à chaque méthode pour déterminer le PGCD de deux nombres. Prendre des valeurs assez élevées. . .

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