Problème A344 – Solution de Jean Drabbe
QUESTIONS 1 et 2
REMARQUE 1 – Aucun nombre naturel inférieur à 7 n'est brésilien.
Vérification : très aisée.
REMARQUE 2 – Tout nombre naturel pair n supérieur à 7 est brésilien.
Vérification : Si n = 2 • k , n = 2 • (k – 1) + 2 . Ainsi, 2014 = [22 en base 1006] .
Il en résulte qu'il existe exactement (2014 – 8) / 2 + 1 = 1004 nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens.
QUESTION 3
7 et 13 sont brésiliens car 7 = [111 en base 2] et 13 = [111 en base 3] .
Montrons que 11 n'est pas brésilien en procédant par l'absurde. Supposons que 11 soit de la forme 11 = a • (1 + b + b^2 + ... + b^m) .
Il faudrait que a = 1 (car 11 est premier et a = 11 n'est pas acceptable).
De 10 = b + b^2 + ... + b^m , on déduit b = 2 ou b = 5 ou b = 10 mais ces trois dernières valeurs ne sont pas convenables.
QUESTION 4
REMARQUE 3 – Si n > 2 n'est pas premier, n^2 est brésilien.
Vérification : Soit u le plus petit diviseur premier de n et v = n / u . La propriété résulte de l'égalité n^2 = u • (1 + u • v^2 – 1) .
D'autre part, 121 = 11^2 est brésilien car [121 = 11111 en base 3] .
B. Schott indique (dans [2]) qu'un résultat de Nagell permet d'établir que le seul carré de nombre premier qui est brésilien est 11^2 .
Il me paraît difficile d'avoir accès aux références publiées en 1920 et 1921 dans des revues qui
semblent norvégiennes.
En conséquence, il existe exactement 9 carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens.
[1] BORNSZTEIN, P., Hypermath – 120 exercices de haut vol, Vuibert (juin 2001).
[2] SCHOTT, B., Les nombres brésiliens, Quadrature, no 76, avril – juin 2010, pages 30 – 38 . Une copie .PDF est accessible à partir de la page A220570 de OEIS .
