E 115 Verroken Antoine
I. p : nombre des entiers dans une suite de termes impairs ou pairs m : nombre total des entiers naturels de la suite
t(m) : dernier nombre d’une suite pair ou impair s(n) : termes de la suite
n : n-ième terme
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s(n) 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16
suite p m t(m)
1 1 1 1
2 4 2 3 4
5 7 9 3 6 9
10 12 14 16 4 10 16
17 19 21 23 25 5 15 25
t(m) = p^2 m = ( 1 + p ) * p / 2
t(m) / m = 2 * p^2 / ( p^2 + p ) < 2 tous les nombres entre ( p – 1 )^2 et p^2 sont plus petits que p^2 et plus grands que ( p – 1 )^2
s(n) = 2 * n - f(n)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 s(n) 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 f(n) 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5
la somme des différentes valeurs de f(n) correspond avec la dernière valeur de “ n “ d’une suite de nombres pairs ou impair :
n = 6 somme f(n) = 1 + 2 + 3 = 6
donc pour une valeur de f(n) = A donnée,la valeur de ( n – 1 ) ne peut être plus petite que la somme des différentes valeurs de f(n) moins une valeur :
f(n) = 5 n = 13 somme (f(n) – 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ( n – 1 ) = 12 12 > 10
on obtient donc la formule :
[ 1 + ( A – 1 ) ] * [ A – 1 ] / 2 =< ( n – 1 ) ou
( 1 ) A = f(n) =< ( 1 + sqrt( 8 * n – 7 )) / 2
comme f(n) est le plus grand entier qui satisfait ( 1 ) ( 2 ) f(n) = l ( ( 1 + sqrt( 8 * n – 7 ) ) / 2 l
II
s ( 2009 ) = 2 * 2009 – l (( 1 + sqrt( 8 * 2009 - 7 ))/2 l = 3955
