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3.7 Soit a ∈ R un nombre quelconque. Il s’agit de montrer qu’il est impossible que la suite (un

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Academic year: 2022

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(1)

3.7 Soit a ∈ R un nombre quelconque. Il s’agit de montrer qu’il est impossible que la suite ( u

n

)

n∈N

converge vers a .

Supposons par l’absurde que la suite ( u

n

)

n∈N

converge vers a .

Choisissons ε =

12

. Il existe n

0

∈ N tel que pour tout n > n

0

on ait | u

n

− a | <

1

2

. Soit n > n

0

. On obtient alors :

| u

n+1

− u

n

| = | u

n+1

− a + a − u

n

| 6 | u

n+1

− a | + | a − u

n

| <

1

2

+

12

= 1 .

Mais | u

n+1

− u

n

| = |(−1)

n+1

−(−1)

n

| = |(−1)

n+1

+(−1)

n+1

| = |2·(−1)

n+1

| = 2 . On aboutit ainsi à la contradiction 2 = | u

n+1

− u

n

| < 1 .

Analyse : limite et convergence d’une suite Corrigé 3.7

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