Exercices en temps libre : Semaine 2 Exercice cours MPSI :
1. Pour touta∈R, on définit fa :x7→eax. Montrer que(fa)a∈R est libre.
2. Pour touta∈R, on définit ga:x7→ |x−a|. Montrer que(ga)a∈Rest libre.
3. Pour toutn∈N, on définithn:x7→cos(xn). Montrer que(hn)n∈Nest libre.
Exercice 1 :
Soit(a0, ..., an−1)∈Cn,x∈C. Calculer
∆n =
x 0 a0
−1 . .. ... ... . .. x an−2
0 −1 x+an−1
en développant par rapport à la dernière colonne.
On rappelle le calcul de déterminant par bloc :
A B
(0) C = detA×detC Exercice 2 :
SoitAune matrice carrée d’ordren. On suppose queAest inversible et que λ∈Rest une valeur propre deA.
1. Démontrer queλ6= 0.
2. Démontrer que si~xest un vecteur propre deApour la valeur propreλalors il est vecteur propre deA−1 de valeur propreλ−1.
Exercice 3 :
SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), etuun endomorphisme deE. On supposeunilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positifntel queun= 0.
1. Montrer queun’est pas inversible.
2. Déterminer les valeurs propres deuet les sous-espaces propres associés.
1
Corrections : Exercice MPSI :
De manière générale, les famillesF = (fa)a∈R sont infinies. Pour montrer la liberté, il suffit de montrer que si on en extrait une famille finie, cette famille est libre.
Pour éviter de terminer la preuve par "et on recommence...", on prépare proprement une récurrence : Soitn∈N∗ etPn la propriété : "toute sous-famille finie de cardinalndeF est libre."
Initialisation :P1 est vraie car la fonction nulle n’est pas dansF.
Hérédité : soitn∈N∗ tel quePn−1 est vraie. Montrons quePn est vraie.
On commence donc par écrire : soient a1 < a2 < . . . < an réels DISTINCTS. Montrons que(fa1, fa2, . . . fan) est libre.
Soientλ1, λ2, . . . , λn des réels tels queφ=P
λifai= 0(la fonction nulle). Alors :
1. L’idée est d’échelonner les fonctions par leur comportement asymptotique, en +∞ par exemple : par l’absurde, siλn n’était pas nul, on auraitφ(x)∼x+∞λnfan(x)6= 0. Contradiction ,doncλn est nul.
2. L’idée est d’utiliser la propriété "être dérivable en a" : par l’absurde, si λn n’était pas nul, on aurait x7→λn|x−an|=−λ1|x−a1| −λ2|x−a2|. . .−λn−1|x−an−1|. Orx7→λn|x−an| n’est pas dérivable enantandis quex7→ −λ1|x−a1| −λ2|x−a2|. . .−λn−1|x−an−1|l’est. Contradiction doncλn est nul.
3. Pour échelonner leshn, on peut par exemple considérer le comportement de leurs dérivées en 0 : pour n >0, siλn n’était pas nul, on auraitφ′(x)∼x→0λnh′n(x)∼x→0λnnx2n−16= 0. Contradiction, doncλn est nul.
Dans chaque cas, on conclut que par hypothèse de récurrence, la famille(fai)16i6n−1 est de cardinaln−1, et donc libre et tous les autresλi sont nuls. D’où le résultat.
Exercice 1 :
On a vu en cours une méthode de calcul plus astucieuse qui consiste à ajouter à la première ligne la somme Pn
k=2xk−1Lk, puis de développer par rapport à la première ligne :
x 0 a0
−1 . .. ... ... . .. x an−2
0 −1 x+an−1
=
0 0 Pn
k=0akxk
−1 x . .. ... . .. x an−2
0 −1 x+an−1
= (−1)n+1·
n
X
k=0
akxk
!
−1 x (0) . .. x
0 −1
= (−1)n+1·(−1)n−1·
n
X
k=0
akxk
!
=
n
X
k=0
akxk
! .
Mais revenons à l’exercice :
Le calcul du déterminant de taille(n−1)×(n−1):
Γk= x
−1 x .. .
.. .
−1 x
−1 x ...
...
..
. x
−1
où le bloc en haut à gauche est de taillek×k se fait par le produit des déterminants par blocs :
A B
(0) C = detA×detC
Contrairement à l’habitude on développe par rapport à la colonne qui a le moins de 0. En développant par rapport à la dernière colonne on obtient :
2
∆n=
x 0 a0
−1 . .. ... ... . .. x an−2
0 −1 x+an−1
= (−1)n−1a0
−1 x
−1 x . .. ...
−1
+ (−1)na1
x
−1 x
−1 x . .. ...
−1
+· · ·+ (−1)2n−3an−2
x
−1 . ..
. .. ...
−1 x
−1
+ (−1)2n−2(x+an−1)
x
−1 . ..
. .. ...
−1 x
=Pn−2
k=0(−1)n−1+kak×Γk + (−1)2n−2(x+an−1)Γn−1
=Pn−2
k=0(−1)n−1+kak×xk×(−1)n−1−k + (x+an−1)xn−1
=a0+a1x+a2x2+· · ·+an−1xn−1+xn
Exercice 2 :
SoitAune matrice carrée d’ordren. On suppose queAest inversible et que λ∈Rest une valeur propre deA.
1. Démontrons queλ6= 0. Siλ= 0est valeur propre deA, alorskerA6={0}, doncA n’est pas injective et sa matrice ne peut pas être inversible. Par conséquent,λ6= 0.
2. Démontrons que si~xest un vecteur propre de A pour la valeur propre λ alors il est vecteur propre de A−1 de valeur propreλ−1 .
CommeAest inversible, on aA~x=λ~x ⇐⇒ A−1(A~x) =A−1(λ~x) ⇐⇒ ~x=λA−1~x, d’oùA−1~x=λ−1~x.
Ce qui prouve que~xest vecteur propre deA−1 de valeur propreλ−1. Exercice 3 :
SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), etuun endomorphisme deE. On supposeunilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif ntel queun= 0.
1. Montrons queun’est pas inversible.
On a :0 = detun= (detu)n, d’où detu= 0, ce qui prouve queun’est pas inversible.
2. Déterminons les valeurs propres deuet les sous-espaces propres associés.
Soitλ une valeur propre deu, il existe alors un vecteur x∈E non nul tel queu(x) =λx. Or,u(x) = λx⇒un(x) =λnx. Mais,un(x) = 0etx6= 0, d’oùλn= 0et doncλ= 0. La seule valeur propre possible deuest donc0et c’est une valeur propre car, commeun’est pas inversible, le noyau deun’est pas réduit à{0}. L’endomorphismeuadmet donc 0comme unique valeur propre, le sous-espace propre associé est keru.
3
