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1- Montrer que 0 est la seule valeur propre de u. A quelle condition u est-il diagonalisable ?

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Endomorphismes d’espace vectoriel, vecteurs propres et valeurs propres, questions diverses

C. Huyghe

1. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension n, u ∈ L( E ) , tel u

n

= 0.

1- Montrer que 0 est la seule valeur propre de u. A quelle condition u est-il diagonalisable ?

2- Soit x ∈ E. On pose E

x

= Vectx, u ( x ) , . . . , u

n−1

( x ) . Montrer que E

x

est stable par u, i.e. u ( E

x

) ⊂ E

x

.

3- On suppose d´esormais qu’il n’existe pas de sous-espaces stables par u `a part 0 et E. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u s’´ecrit

A =

0 . . . . . . 0 0 . . . . . 0 0 . . . . . 0 0 . . . 0 . 0 0 . . . 0 0

 .

2. Soit u ∈ L( C ) .

1- Montrer que u est une homoth´etie de rapport λ ∈ C et en particulier que u est diagonalisable. On pose λ = a + ib.

2- On identifie C `a R

2

. Alors u est R -lin´eaire et induit un enomorphisme v de R

2

. Ecrire la matrice de v dans la base canonique de R

2

. A quelle condition est-ce que v est diagonalisable comme endomorphisme de R

2

? Quels sont alors les vecteurs propres ?

3- Montrer que la matrice de v est semblable `a A =

"

a − b b a

# , avec a, b ∈ R .

3. Soient E = R

3

dont les coordonn´ees des vecteurs dans la base canonique sont not´ees ( x, y, z ) . Soit P la plan d’´equation : x + 2y − z = 0

1- D´eterminer une base de P.

2- Soit D la droite vectorielle dirig´ee par le vecteur de coordonn´es ( 1, − 1, 2 ) . Montrer que E = P L D.

1

(2)

3- Soient p

1

le projecteur sur P parall`element `a D et p

2

le projecteur sur D parall`element `a P. Montrer que Id = p

1

+ p

2

.

4- En appliquant la m´ethode du cours, qui consiste `a ´ecrire la matrice B

1

de p

1

(resp. B

2

p

2

) dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition E = P L D, et

`a faire un changement de base, calculer les matrices A

1

et A

2

de p

1

et p

2

respectivement dans la base canonique. V´erifier que Id = A

1

+ A

2

.

4. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et s une sym´etrie vectorielle : E → E. Montrer que les seules valeurs propres possibles de s sont − 1 et 1.

5. Soit A la matrice suivante

A =

"

0 1

− 1 0

# . 1- Cette matrice est-elle diagonalisable sur R ?

2- Cette matrice est-elle diagonalisable sur C ? Quelles sont les valeurs propres de cette matrice ? Donner les vecteurs propres de cette matrice.

3- Montrer que A est semblable sur C `a une matrice diagonale D, que l’on pr´ecisera, mais pas sur R .

6. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension finie dont on fixe une base B, f ∈ L( E ) . Soient λ

1

, . . . , λ

n

n scalaires de K distincts tels que si A est la matrice de f dans la base B on ait

A =

λ

1

. . . . . . 0 λ

2

. . . . . 0 0 . . . . . . . 0 0 . . . λ

n−1

. 0 0 . . . 0 λ

n

 .

Montrer que A est diagonalisable.

7. Soient K un corps, λ ∈ K et

A =

2 1 − 1

0 λ 1

0 0 λ

 .

Discuter le rang de A − λ Id suivant les valeurs de λ . En d´eduire : 1- Les valeurs propres et les vecteurs propres de A,

2- le fait que A n’est pas diagonalisable.

8. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel, f , g ∈ L( E ) , tels que f ◦ g = g ◦ f . 1- Monter que Ker f et Im f stables par g, i.e. g ( Ker f ) ⊂ Ker f et g ( Im f ) ⊂ Im f . 2- Soient λ ∈ K et E

λ

le sous-espace propre associ´e `a λ (´eventuellement r´eduit

`a { 0 } ). Montrer que E

λ

est stable par g.

2

(3)

3- Cas particulier : prenons E = C

3

, et f diagonalisable, ayant pour vecteurs propres ( v

1

, v

2

, v

3

) associ´es aux valeurs propres 1, 2 et 3. Montrer que si g commute avec f , alors g est diagonalisable.

3

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