I Valeurs propres et vecteurs propres

BCPST2

95 2 15 ^Réduction

Dans tout le chapitre K=R ouC

I Valeurs propres et vecteurs propres

A) Dénitions Dénition :

Soit E un espaceK- espace vectoriel. Soit f ∈ L(E). Soit λ∈K.

G On dit que λest une valeur propre def si et seulement sif−λIdE est non injective.

On noteSp(f)et on appelle spectre de f, l'ensemble des valeurs propres.

G Soitλune valeur propre de f. Soitx∈E.

On dit que x est un vecteur propre def associée à la valeur propre λ, si et seulement si x6= 0, f(x) =λx

G Soitλune valeur propre de f.

On appelle sous-espace propre def associé à la valeur propre λl'ensemble :Ker(f−λId_E). Dénition :

Soit n∈N^∗. Soit A∈M_n(K). Soitλ∈K.

G On dit que λest une valeur propre deA si et seulement siA−λI_n est non injective.

On noteSp(A) et on appelle spectre de A, l'ensemble des valeurs propres.

G Soitλune valeur propre de A. SoitX ∈M_n,1(K).

On dit que X est un vecteur propre deA associée à la valeur propre λ, si et seulement si X6= 0, AX=λX

G Soitλune valeur propre de A.

On appelle sous-espace propre deA associé à la valeur propreλl'ensemble : Ker(A−λI_n). Remarque: Traduction Matricielle

Soit E un espaceK- espace vectoriel de dimension nie, soit B une base deE. Soit f ∈ L(E) etA=M atB(f)

Soit λ∈K. On a :

λ∈Sp(f) ⇐⇒ λ∈Sp(A) Soit x∈E etX =M atB(x). On a :

x∈Ker(f −λIdE) ⇐⇒ X∈Ker(A−λIn)

B) Recherche pratique en dimension nie Par la recherche du sous-espace propre

Méthode

Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme surE.

G On traduit le problème matriciellement (si ce n'est pas déjà fait) : On choisit donc une baseB et on écrit A=M atB(f).

G Soit λ∈K. On recherche Ker(A−λIn). Soit X∈Kⁿ.

X ∈Ker(A−λIn) ⇐⇒ AX−λX = 0 G On résout le système linéaire, où λest un paramètre.

G Lors de la résolution, certaines valeurs de λapparaissent conduisant à des solutions non nulles.

En dehors de ces valeurs, le système admet une unique solution qui est X= 0. G On conclut : les valeurs particulières qui sont apparues dans le système sont les

valeurs propres et on a trouvé le sous-espace propre associé.

En dehors de ces valeurs, f−λId_E est injective.

Par la recherche du rang

Méthode

Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme surE.

G On traduit le problème matriciellement (si ce n'est pas déjà fait) : On choisit donc une baseB et on écrit A=M atB(f).

G Soit λ∈K. On calcule rg(A−λI_n) et on recherche les valeurs de λ pour lesquelles ce rang est strictement inférieur àn.

En dehors de ces valeurs, f−λIdE est injective.

G On conclut : les valeurs particulières qui sont apparues sont les valeurs propres.

G Pour ces valeurs, on cherche le sous-espace propre associé en résolvant : X ∈Ker(A−λIn) ⇐⇒ AX−λX = 0

Remarque: Valeurs propres des matrices diagonales ou triangulaires

Les valeurs propres d'une matrice diagonales ou triangulaires sont les éléments de la dia- gonale.

Remarque:

En dimension 2, on peut utiliser le déterminant : Soit A∈M₂(K). λ∈Sp(A) ⇐⇒ det(A−λI₂) = 0 Exemple :

©

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique est :

A=





7 −3 −5 4 −1 −4 6 −3 −4





II Diagonalisation des endomorphismes

Dans toute la suite,E est de dimension nie A) Familles de vecteurs propres Proposition :

Soit E un espaceK- espace vectoriel. Soit f ∈ L(E). Soientλ₁, . . . λ_p des valeurs propres distinctes def.

Soientx1, . . . , xp des vecteurs propres associés à chacune de ces valeurs propres.

La famille (x₁, x₂, . . . , x_p) est libre.

Démonstration : Proposition :

Soientλ1, . . . λp des valeurs propres distinctes def. Soit E un espaceK- espace vectoriel. Soit f ∈ L(E).

Soit, pour 1≤i≤p, une baseB_i du sous-espace propre associé à λ_i. Alors la famille(B₁,B₂. . . ,B_p) est libre.

Démonstration :

B) Nombre de valeurs propres Proposition :

Soit E un espaceC- espace vectoriel. Soit f ∈ L(E).

G f admet au moins une valeur propre complexe.

G f admet au plus nvaleurs propres distinctes.

Il en est de même pour une matrice A∈Mn(C).

Remarque:

Une matrice réelle peut n'admettre aucune valeur propre sur R.

Si elle admet des valeurs propres réelles, alors il y a en a au plusn.

Une matrice réelle peut-être considérée comme à coecients complexes : Dans ce cas, les valeurs propres sont réelles ou complexes conjuguées.

C) Endomorphismes diagonalisables Dénition :

Soit E un espaceK-espace vectoriel. Soitf ∈ L(E).

On dit quef est diagonalisable si et seulement si il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.

Remarque:

Soit E un espaceK- espace vectoriel de dimensionn. Soit B₀ une base de E.

Soit f ∈ L(E). On note A=M atB0(f).

f est diagonalisable si et seulement si il existe une matriceP ∈M_n(K), inversible, et une matrice Ddiagonale telles que :

D=P⁻¹AP

P est la matrice de passage de la base B₀ vers la base constituée des vecteurs propres.

Dénition : Soit A∈M_n(K).

On dit queA est diagonalisable si et seulement si il existe une matriceP ∈Mn(K), inversible, et une matrice Ddiagonale telles que :

D=P⁻¹AP C'est-à-dire queA est semblable à une matrice diagonale.

Pratique de la diagonalisation

Méthode

Soit E un espace K-espace vectoriel. Soitf ∈ L(E).

G Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres def.

G Pour chaque valeur propre λ_i, déterminer une baseB_i du sous-espace propre.

Remarque : card(B_i) = dim(Ker(f−λiIdE)) G Compter : f est diagonalisable si et seulement si

p

X

i=1

card(B_i) = dim(E)

où p est le nombre de valeurs propres distinctes.

G Ecrire la matrice de f dans la nouvelle base, ainsi que la matrice de passage.

Exemple :

©

Soit f l'endomorphisme deR³ donc la matrice dans la base canonique est :

A=





7 −3 −5 4 −1 −4 6 −3 −4





f est-il diagonalisable ? Exemple :

©

Soit f l'endomorphisme deR³ donc la matrice dans la base canonique est :





1 0 1

−4 3 4 2 −1 0





f est-il diagonalisable ?

D) Conditions de diagonalisation Proposition :

Soit E un espaceK- espace vectoriel. Soit f ∈ L(E).

Pour chaque valeur propre λ_i, soit B_i une base du sous-espace propre.

f est diagonalisable si et seulement si

p

X

i=1

card(Bi) = dim(E)

Proposition :

Soit E un espaceK- espace vectoriel de dimensionn. Soit f ∈ L(E).

Sif admet nvaleurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.

Remarque:

La réciproque est évidemment fausse ! Proposition :

Soit Aune matrice symétrique queM_n(R). AlorsA est diagonalisable.

III Un exemple d'application

Calcul de Aⁿ

Méthode

Soit A un matrice deM_n(K). On cherche à calculerAⁿ. G On diagonalise, si possible, la matrice A.

G On écrit la relation obtenue : D=P⁻¹AP G On en déduit

Aⁿ = (P DP⁻¹)(P DP⁻¹). . .(P DP⁻¹)

| {z }

nfois

=P DⁿP⁻¹

G On a : Dⁿ=











λⁿ₁ 0 . . . 0 0 λⁿ₂ 0. . . 0 ... ... ...

0 . . . 0 λⁿ_n











G On eectue le produit matriciel : Aⁿ=P DⁿP⁻¹.

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95 2 16 ^Reduction

©Exercice 1: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Reduction/Red08.tex

On pose :A=





0 1 0 0 0 1 1 0 0



∈M₃(C)

1^◦) a) CalculerA³. En déduire les valeurs propres possibles de A. b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.

A est-elle diagonalisable ?

2^◦) Pour tout (a, b, c)∈C³, on pose M =





a b c c a b b c a



. Diagonaliser M en utilisant les questions précédentes.

©Exercice 2: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Reduction/Red18.tex

On considère la matrice J =





0 2 1 0 −1 2 0 1 0



 et pour tout réel a, la matriceM_a =





a 2 1

0 a−1 2

0 1 a



. 1^◦) DiagonaliserJ puis M_a.

2^◦) On veut résoudre X² =M_a.

Soit X une solution de x² =M_a. Montrer que X commute avec M_a. En déduire les solutions de X² =Ma.

©Exercice 3: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Reduction/Red26.tex

Soit A=





1 −1 0 1 0 −1

−1 0 2



 etf dont la matrice dans la base canonique est A. 1^◦) Déterminer les valeurs propres de A.

2^◦) Déterminer les sous-espaces propres associés àA. A est-elle diagonalisable ? 3^◦) Montrer qu'il existe une base dans la quelle la matrice def estB =





1 1 0 0 1 1 0 0 1



. Calculer Bⁿ puis Aⁿ.

©Exercice 4: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Reduction/Red03.tex

On pose P =−X³+ 6X² −11X+ 6 et A=





4 2 −2

−8 −3 6

−5 −2 5



. A l'aide de P, diagonaliser, si c'est possible, A.

© Exercice 5: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Reduction/Red11.tex

On note M₃(R), l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coecients réels et on désigne par B la base canonique de R³ : B= (e₁, e₂, e₃).

Soit u, l'endomorphisme de R³ dont la matrice dans B est A=





16 4 −4

−18 −4 5 30 8 −7



.

1

Partie : Etude de A .

1^◦) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. 2^◦) Montrer que A est diagonalisable et la diagonaliser.

3^◦) Montrer que ∆∈M₃(R) vérie∆D=D∆si et seulement si ∆ est diagonale.

2

Partie : Commutant de A .

On pose C(A) ={M ∈M₃(R) / AM =M A}. 1^◦) Montrer que C(A) est un espace vectoriel.

2^◦) Montrer que M ∈C(A) ⇐⇒ P⁻¹M P est diagonale . 3^◦) En déduire C(A) et en donner la dimension et une base.

3

Partie : Etude d'une suite.

1^◦) Soit n∈N, exprimerAⁿ en fonction den.

2^◦) Soient a, b, c∈R. on dénit les trois suites p, q, r par







p₀ = a q₀ = b r0 = c

et







p_n+1 = 16p_n +4q_n −4r_n q_n+1 = −18p_n −4q_n +5r_n rn+1 = 30pn +8qn −7rn

On poseUn =



 p_n q_n r_n



. Exprimer Un en fonction den etU0.

3^◦) Donner une condition nécessaire et susante pour que les suites p, q, r soient convergentes.

4

Partie : Résolution d'un système diérentiel

Soit x, y, z trois fonctions dérivables vériant le système suivant :







x⁰(t) = 16x(t) +4y(t) −4z(t) y⁰(t) = −18x(t) −4y(t) +5z(t) z⁰(t) = 30z(t) +8y(t) −7z(t)

Déterminer les fonctionsx, y, z en fonction des valeurs







x(0) = a y(0) = b z(0) = c

5

Partie : Equation du second degré X

= A , où X ∈ M

( R ) .

1^◦) SoitX ∈M₃(R), on poseY =P⁻¹XP. Montrer que X² =A ⇐⇒ Y² =D Soit Y ∈M₃(R), montrer :

Y² =D=⇒Y D =DY En déduire l'ensemble des solutions de l'équation Y² =D.

2^◦) Combien y'a-t-il de solutions à X² =A? Exprimer, sans calculer explicitement les solutions, leur somme et leur produit en fonction de A.

©Exercice 6: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Reduction/Red12.tex

On note E =R³ etB= (e₁, e₂, e₃) sa base canonique.

Soit f ∈L(E) dont la matrice dansB est :

A =





3 −2 3 1 0 2 0 0 2





1

Partie :

1^◦) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. f est-il diagonalisable ?

2^◦) On noteu₁ = (1,1,0), u₂ = (2,1,0), u₃ = (1,1,1). On dénitC = (u₁, u₂, u₃). Montrer que C est une base, écrire sa matrice de passage P et son inverse.

3^◦) Expliciter la matrice T de f dans la base C. Quelle relation relie A etT ? 4^◦) Montrer :

∀n ∈N^∗, ∃α_n ∈R, Tⁿ =





1 0 0 0 2ⁿ αn

0 0 2ⁿ



 On précisera la valeur de α₁ ainsi qu'une relation reliantα_n+1 etα_n. 5^◦) Montrer :∀n∈N, α_n =n2ⁿ⁻¹.

6^◦) En déduire Aⁿ.

2

Partie :

On note C(A) = {M ∈M3(R), AM =M A} l'ensemble des matrices commutant avec A. 7^◦) Montrer que C(A)est un sous espace vectoriel de M₃(R).

8^◦) SoitM ∈M₃(R), on note M⁰ =P⁻¹M P. Montrer : M ∈C(A) ⇐⇒ M⁰ ∈C(T) 9^◦) Déterminer l'ensemble des matrices de C(T).

10^◦) Sans expliciter complètement C(A), déterminer une base et la dimension de C(A). 11^◦) Expliciter C(A).