MPSI B Année 2014-2015 DM 12 pour vendredi 03/04/15 29 juin 2019
Problème
Dans ce problème, K désigne R ou C.
On rappelle les dénitions des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme.
Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L(E) .
Une valeur propre de f est un élément λ de K pour lequel il existe un vecteur non nul x de E tel que f (x) = λx . Le spectre de f est l'ensemble de ses valeurs propres.
Un vecteur propre de f est un vecteur non nul x de E pour lequel il existe un λ ∈ K tel que f (x) = λx .
L'objet de ce problème
1est d'étudier les vecteurs propres communs à deux endomor- phismes. Par dénition, un vecteur x est un vecteur propre commun aux endomorphismes f et g si et seulement il est non nul et s'il existe λ et µ dans K tels que f(x) = λx et g(x) = µx .
On utilise aussi le crochet : [f, g] = f ◦ g − g ◦ f de deux endomorphismes f et g de L(E) ou de deux matrices carrées [A, B] = AB − BA .
Partie I. Exemple.
Dans cette partie, K = R, on considère les matrices suivantes : A =
0 −1 −1
−1 0 −1
−1 −1 0
, B =
3 −3 −1
0 2 0
1 −3 1
,
C =
−5 3 −1
−2 6 2
−5 3 −1
, D =
0 0 0
0 6 0
0 0 −6
,
U
1=
1 0
−1
, U
2=
0 1
−1
, U
3=
1 1 1
, U
4=
1 0 1
, U
5=
1 1
−2
.
On considère aussi un R-espace vectoriel E muni d'une base E = (e
1, e
2, e
3) . On dénit les endomorphismes a , b , c , d dans L(E) et les vecteurs u
1, u
2, u
3, u
4, u
5par les relations
Mat
E(a) = A, Mat
E
(b) = B, Mat
E
(c) = C, Mat
E
(d) = D, Mat
E(u
1) = U
1, · · · , Mat
E
(u
5) = U
5. On note F = (u
1, u
2, u
3) .
1d'après CCP 2013 MP maths1
1. En discutant selon λ ∈ R du rang de A − λI
3puis de B − λI
3, déterminer les spectres de a et de b .
2. Vérier que la famille F est une base de E formée de vecteurs propres de a . Montrer qu'aucun élément de F n'est un vecteur propre commun à a et b .
3. Montrer que Im(b − 2 Id
E) = Vect(u
4) et que dim(ker(b − 2 Id
E)) = 2 .
4. Montrer que ker(a − Id
E) ∩ ker(b − 2 Id
E) = Vect(u
5) et déterminer tous les vecteurs propres communs à a et b .
Partie II. Exemple avec des polynômes.
Dans cette partie E = C
2n[X ] . On dénit des applications a et b par :
∀P ∈ C
2n[X ], a(P ) = P
0, b(P ) = X
2nP b ( 1 X ).
Ces applications sont des endomorphismes de E , on ne demande pas de le vérier.
1. Dans le cas particulier n = 1 .
a. Former les matrices A et B des endomorphismes a et b dans la base canonique (1, X, X
2) .
b. Calculer [A, B] et [A
2, B] puis leurs rangs.
2. Valeurs propres et vecteurs propres de a .
a. Montrer que a admet une unique valeur propre λ à déterminer. Quels sont les vecteurs propres de a ?
b. Soit i entier entre 2 et 2n . Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres de a
i= a ◦ · · · ◦ a ?
3. Valeurs propres et vecteurs propres de b .
a. Que vaut b ◦ b ? Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de b ? b. Montrer que si P est un vecteur propre de b alors deg(P) ≥ n .
c. Calculer les images par b de X
net des polynômes X
n−k+X
n+ket −X
n−k+X
n+kpour k entier entre 1 et n .
4. Vecteurs propres communs. Pour quel entiers i entre 1 et 2n , les endomorphismes a
iet b ont-ils des vecteurs propres communs ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1412EMPSI B Année 2014-2015 DM 12 pour vendredi 03/04/15 29 juin 2019
Partie III. Condition nécessaire. Conditions susantes.
On pourra utiliser sans démonstration que tout endomorphisme d'un C-espace vectoriel de dimension nie admet au moins une valeur propre.
Dans toute cette partie (sauf dans la question 1), E désigne un C-espace vectoriel de dimension nie.
On dit que le couple (a, b) ∈ L(E)
2vérie la propriété H si et seulement si il existe une valeur propre λ de a telle que ker(a − λ Id
E) ⊂ ker([a, b]) .
Pour tout naturel non nul k , on note P
kla proposition suivante :
Pour tout C-espace vectoriel V tel que dim(V ) ≤ k et tout couple d'endo- morphismes (ϕ, ψ) ∈ L(V )
2tels que rg([ϕ, ψ]) ≤ 1 , il existe un vecteur propre commun à ϕ et ψ .
1. Dans cette question, E un K -espace vectoriel de dimension nie (avec K égal R ou C) et (a, b) ∈ L(E)
2. Montrer que si a et b admettent un vecteur propre commun alors rg([a, b]) < dim(E) . Que penser de la réciproque ?
2. Soit a et b deux endomorphismes de E .
a. Montrer que si [a, b] = 0
L(E), alors (a, b) vérie la propriété H .
b. On suppose ici que (a, b) vérie la propriété H avec ker(a − λ Id
E) ⊂ ker([a, b]) . Montrer que ker(a − λ Id
E) est stable pour b . En déduire l'existence d'un vecteur propre commun à a et b .
3. Démontrer la proposition P
1.
4. Dans cette question, on considère (a, b) ∈ L(E)
2qui ne vérie pas la propriété H . On note c = [a, b] , on suppose que rg(c) = 1 et on considère une valeur propre λ ∈ C de a .
a. Justier l'existence d'un u ∈ E tel que a(u) = λu et c(u) 6= 0 .
b. Montrer que Im(c) = Vect(v) où v = c(u) . En déduire que Im(c) ⊂ Im(a− λ Id
E) . c. Montrer que Im(a − λ Id
E) est stable par a et b .
5. Montrer que la propriété P
nest vraie pour tous les naturels non nuls n .
Si deux endomorphismes ont un vecteur propre commun, leur crochet est-il de rang au plus 1 ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
