MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 15 pour le 20/04/20 24 avril 2020
Pb 1
Dénissons diverses fonctions dansR. Pour tout réelx: λ(x) =
Z x 0
e−t2 dt, f(x) = Z 1
0
e−x(1+t2)
1 +t2 dt, g(x) = Z 1
0
e−x(1+t2)dt Notons queλest l'unique primitive det∈R7→e−t2 s'annulant en0.
Le but de cet exercice est de démontrer que :
x→+∞lim λ(x) =
√π
2 (intégrale de Gauss) 1. Soita∈[1,2]. Dénissons une fonctionϕdansRpar :
∀x∈R, ϕ(x) =e−ax−1 +ax.
On pourra utiliser une formule de Taylor à préciser.
a. Montrer queϕest à valeurs positives surR.
b. Montrer que pour toutxréel : x≥ −ln(2)
a ⇒ϕ(x)≤a2x2⇒
e−ax−1
x +a
≤a2|x|pourx6= 0.
Ces inégalités permettent de montrer quef est dérivable surR+ et que :
∀x∈R+, f0(x) =−g(x).
Cette propriété est admise et sera utile dans la n du problème.
2. Pour toutx∈R+, posons :
h(x) =f(x2) +λ(x)2. a. Calculerh(0).
b. Montrer que pour toutx >0:
λ(x) =x Z 1
0
e−x2t2 dt.
c. En déduire quehest constante surR+.
d. Montrer que pour tout x∈ R+, 0 ≤ f(x) ≤e−x. En déduire la limite de f(x) quandxtend vers+∞.
e. Montrer enn que :
x→+∞lim λ(x) =
√π 2 .
Pb 2
Dans ce problème,K désigneRouC.
On rappelle les dénitions des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme.
SoitE unK-espace vectoriel etf ∈ L(E).
Une valeur propre def est un élémentλdeKpour lequel il existe un vecteur non nul xdeE tel que f(x) =λx. Le spectre def est l'ensemble de ses valeurs propres.
Un vecteur propre def est un vecteur non nulxdeE pour lequel il existe un λ∈K tel quef(x) =λx.
L'objet de ce problème1 est d'étudier les vecteurs propres communs à deux endomor- phismes. Par dénition, un vecteurxest un vecteur propre commun aux endomorphismes f et g si et seulement il est non nul et s'il existe λ et µ dans K tels quef(x) = λx et g(x) =µx.
On utilise aussi le crochet :[f, g] =f◦g−g◦f de deux endomorphismesf et g deL(E) ou de deux matrices carrées[A, B] =AB−BA.
Partie I. Exemple.
Dans cette partie,K=R, on considère les matrices suivantes :
A=
0 −1 −1
−1 0 −1
−1 −1 0
, B=
3 −3 −1
0 2 0
1 −3 1
,
C=
−5 3 −1
−2 6 2
−5 3 −1
, D=
0 0 0
0 6 0
0 0 −6
,
U1=
1 0
−1
, U2=
0 1
−1
, U3=
1 1 1
, U4=
1 0 1
, U5=
1 1
−2
.
On considère aussi unR-espace vectorielE muni d'une baseE= (e1, e2, e3). On dénit les endomorphismesa,b, c,ddansL(E)et les vecteursu1,u2,u3,u4, u5 par les relations
Mat
E (a) =A, Mat
E (b) =B, Mat
E (c) =C, Mat
E (d) =D, MatE (u1) =U1, · · · , Mat
E (u5) =U5. On noteF= (u1, u2, u3).
1d'après CCP 2013 MP maths1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1915E
MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 15 pour le 20/04/20 24 avril 2020
1. En discutant selonλ∈Rdu rang deA−λI3puis de B−λI3, déterminer les spectres deaet deb.
2. Vérier que la familleF est une base deE formée de vecteurs propres dea. Montrer qu'aucun élément deF n'est un vecteur propre commun àaet b.
3. Montrer queIm(b−2 IdE) = Vect(u4)et quedim(ker(b−2 IdE)) = 2.
4. Montrer queker(a−IdE)∩ker(b−2 IdE) = Vect(u5) et déterminer tous les vecteurs propres communs àaetb.
Partie II. Exemple avec des polynômes.
Dans cette partieE=C2n[X]. On dénit des applications aetbpar :
∀P ∈C2n[X], a(P) =P0, b(P) =X2nP(b 1 X).
Ces applications sont des endomorphismes deE, on ne demande pas de le vérier.
1. Dans le cas particuliern= 1.
a. Former les matrices A et B des endomorphismesa et b dans la base canonique (1, X, X2).
b. Calculer[A, B]et[A2, B]puis leurs rangs.
2. Valeurs propres et vecteurs propres dea.
a. Montrer que a admet une unique valeur propre λ à déterminer. Quels sont les vecteurs propres dea?
b. Soitientier entre 2 et2n. Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres deai=a◦ · · · ◦a?
3. Valeurs propres et vecteurs propres deb.
a. Que vautb◦b? Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de b? b. Montrer que siP est un vecteur propre debalorsdeg(P)≥n.
c. Calculer les images parbdeXnet des polynômesXn−k+Xn+ket−Xn−k+Xn+k pourkentier entre1 etn.
4. Vecteurs propres communs. Pour quel entiers i entre1 et 2n, les endomorphismes ai etb ont-ils des vecteurs propres communs ?
Partie III. Condition nécessaire. Conditions susantes.
On pourra utiliser sans démonstration que tout endomorphisme d'unC-espace vectoriel de dimension nie admet au moins une valeur propre.
Dans toute cette partie (sauf dans la question 1), E désigne un C-espace vectoriel de dimension nie.
On dit que le couple(a, b) ∈ L(E)2 vérie la propriété Hsi et seulement si il existe une valeur propreλdeatelle queker(a−λIdE)⊂ker([a, b]).
Pour tout naturel non nulk, on notePk la proposition suivante :
Pour tout C-espace vectoriel V tel que dim(V) ≤ k et tout couple d'endo- morphismes (ϕ, ψ) ∈ L(V)2 tels que rg([ϕ, ψ]) ≤ 1, il existe un vecteur propre commun àϕet ψ.
1. Dans cette question,EunK-espace vectoriel de dimension nie (avecKégalRouC) et (a, b)∈ L(E)2. Montrer que si a et b admettent un vecteur propre commun alors rg([a, b])<dim(E). Que penser de la réciproque ?
2. Soitaet bdeux endomorphismes deE.
a. Montrer que si[a, b] = 0L(E), alors(a, b)vérie la propriétéH.
b. On suppose ici que(a, b)vérie la propriétéH avecker(a−λIdE)⊂ker([a, b]). Montrer queker(a−λIdE)est stable pourb. En déduire l'existence d'un vecteur propre commun àaetb.
3. Démontrer la propositionP1.
4. Dans cette question, on considère(a, b)∈ L(E)2 qui ne vérie pas la propriété H. On notec= [a, b], on suppose querg(c) = 1et on considère une valeur propreλ∈C dea.
a. Justier l'existence d'unu∈E tel quea(u) =λu etc(u)6= 0.
b. Montrer queIm(c) = Vect(v)oùv=c(u). En déduire queIm(c)⊂Im(a−λIdE). c. Montrer que Im(a−λIdE)est stable paraet b.
5. Montrer que la propriétéPn est vraie pour tous les naturels non nulsn.
Si deux endomorphismes ont un vecteur propre commun, leur crochet est-il de rang au plus1?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2 Rémy Nicolai M1915E
