Partie I) Un vecteur propre strictement positif

Devoir libre n˚ 3: pouvait ˆetre un concours blanc

MP Clemenceau 2020-21

PourK= IR ouC, on noteMn,`(K) l’ensemble des matrices `an lignes et` colonnes `a coefficients dansK. Un ´el´ement deMn,`(IR) sera consid´er´e comme ´el´ement deMn,`(C). Dans la suite, on identifie les matrices carr´ees (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respectivement les vecteurs) canoniquement associ´es dans Cⁿ : par exemple, on note par la mˆeme lettre une matrice T de Mn,n(IR) et l’endomorphisme de Cⁿ dontT est la matrice dans la base canonique de Cⁿ. SiM ∈Mn,`(K) et x∈K<sup>`</sup>, (M x)_i d´esigne la i-i`eme composante du vecteur M x∈Kⁿ.

On note I_n la matrice identit´e de Mn,n(C).

Pour x= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ, on note kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i| etkMk₁ = sup

x∈Kⁿ\{0}

kM xk₁ kxk₁ , pourM ∈Mn,n(K).

D´efinitions : SoitM une matrice dansMn,`(IR), de coefficients not´es(m<sub>i,j</sub>, pour1≤i≤n,1≤j ≤`).

On dit que M est positive (respectivement strictement positive), ce que l’on note M ≥0 (respective- ment M > 0), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs) :

∀(i, j)∈[[1, n]]×[[1, `]] m_i,j ≥0 (resp .m_i,j >0 )

Pour deux matricesM etN deMn,`(IR), on note M ≥N (respectivementM > N) lorsqueM−N ≥ 0 (respectivement M −N >0).

Si n =`, une matrice M de Mn,n(IR) est dite stochastique lorsqu’elle est positive et que de plus

∀j ∈[[1, n]]

n

X

i=1

m_i,j = 1 On d´efinit les ensembles B, B⁺ et Σ par :

B ={x∈IRⁿ/x≥0 et x6= 0}

B⁺ ={x∈IRⁿ/x >0}

Σ ={x∈IRⁿ/kxk₁ = 1}

Nous souhaitons montrer le r´esultat suivant :

Th´eor`eme (Perron-Frobenius) Soit T dans Mn,n(IR) stochastique v´erifiant (In+T)<sup>n−1</sup> >0. Il existe un vecteur strictement positif x<sub>0</sub> satisfaisant T x<sub>0</sub> = x<sub>0</sub>. Toutes les valeurs propres de T sont de module inf´erieur `a 1 et pour tout vecteur y de Σ∩B,

k→+∞lim 1 k

k−1

X

j=0

T^jy= x₀ kx₀k₁

Dans tout le probl`eme n est un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

Les deux parties sont dans une large mesure ind´ependantes.

1

Pr´ eliminaire

0) Pourx= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ, on note kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i| etkMk₁ = sup

x∈Kⁿ\{0}

kM xk₁ kxk₁ , pourM ∈Mn,n(K).

Montrer que l’on d´efinit ainsi des normes sur Kⁿ etMn,n(K) respectivement.

Partie I) Un vecteur propre strictement positif

Soit T est un ´el´ement positif deMn,n(IR)et P = (I_n+T)ⁿ⁻¹. On supposeP strictement positive.

On note T = (t_i,j)_16i,j6n et P = (p_i,j)_16i,j6n.

1) Montrer que pour tout x∈B, l’ensemble Γx=

θ∈IR⁺/θx 6T x est non vide, ferm´e et born´e.

On note θ(x) son plus grand ´el´ement.

2) Montrer que pour tout x∈B, on peut calculer θ(x) de la mani`ere suivante :

θ(x) = min

(T x)_i

x_i /16i6n et x_i 6= 0

On note θ l’application de B dans IR₊ qui `a x associe θ(x).

3) Montrer que pour tout α dans IR^∗₊ et tout x∈B, θ(αx) = θ(x).

4) Montrer que P(B)⊂B⁺.

5) Montrer que pour tout x∈B, θ(P x)≥θ(x) et θ(P x)>0.

6) Soit x∈B un vecteur propre deT. Montrer que θ(P x) = θ(x).

7) Soit x∈B tel queθ(P x) = θ(x), montrer que xest un vecteur propre deT pour la valeur propre θ(x).

8) Soit C=B∩Σ. Montrer que l’application θ est continue de P(C) dans IR.

9) Justifier l’existence de x₀ ∈P(C) tel que θ(x₀) = sup

x∈P(C)

θ(x).

10) Montrer que sup

x∈P(C)

(θ(x))≥sup

x∈C

θ(x).

11) Montrer que sup

x∈B

θ(x) = sup

x∈C

θ(x).

12) Montrer que sup

x∈C

θ(x) = sup

x∈P(C)

θ(x) et que θ(x₀) = sup

x∈C

θ(x).

On pose θ₀ =θ(x₀).

13) Montrer que x0 est un vecteur propre, strictement positif, de T pour la valeur propre θ0 et que θ₀ >0.

2

II) Une m´ ethode d’approximation

On suppose toujours que P = (I_n+T)ⁿ⁻¹ est strictement positive et on suppose de plus que T est stochastique.

Pour un vecteurx= (x₁, . . . , x_n) deCⁿ, on notex⁺le vecteur (|x₁|, . . . ,|x_n|), o`u|z|est le module du complexe z. Pour tout entierk >1, on pose

R_k= 1 k

k−1

X

j=0

T^j.

14) Soit θ∈C etx∈Cⁿ un vecteur propre deT pour la valeur propre θ.

Montrer que |θ|x⁺ 6T x⁺. 15) En d´eduire que |θ|6θ₀.

16) Montrer que |θ| kx⁺k₁ 6kx⁺k₁ et en d´eduire que |θ|61.

17) En d´eduireθ0 = 1.

18) Montrer que pour tout j >1, T^j etR_j sont des matrices stochastiques.

19) Etablir, pour tout´ k>1, les in´egalit´es suivantes : T^k

1 61 et kR_kk₁ 61.

20) Montrer que pour tout k >1,kT R_k−R_kk₁ 6 2 k.

21) Soit x∈Cⁿ, montrer que la suite (R_kx)_k>1 a au moins une valeur d’adh´erence.

22) Soit y une valeur d’adh´erence de la suite (R_kx)_k>1, montrer que T y =y et que pour tout k>1, Rky=y.

23) Soit y etz deux valeurs d’adh´erence de (R_kx)_k>1, montrer pour tous les entiersm et`, l’identit´e suivante :

y−z =R`(Rmx−z)−Rm(R`x−y) 24) Montrer que la suite (R_kx)_k>1 a exactement une valeur d’adh´erence.

25) Montrer qu’il existe une matrice R telle que, pour tout x∈Cⁿ , Rx= lim

k→+∞R_kx et lim

k→+∞kR_k−Rk₁ = 0.

26) Montrer que T et R commutent.

27) Montrer que RT =R etR² =R.

28) Caract´eriser R en fonction de ker (T −I_n) et Im (T −I_n).

29) On admet que ker (T −I_n) est de dimension 1. Pour x ∈ B, expliciter Rx en fonction de kxk₁, kx₀k₁ et x₀.

FIN DU PROBL`EME

Ce th´eor`eme poss`ede d’innombrables applications. L’une des derni`eres est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectu´e par le plus connu des moteurs de recherche.

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