algorithmique
[ Suite de matrices \
Énoncé
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé.
Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soitnun entier naturel.
On note : Xnl’évènement « la marque X est utilisée le moisn», Ynl’évènement « la marque Y est utilisée le moisn», Znl’évènement « la marque Z est utilisée le moisn».
Les probabilités des évènementsXn,Yn,Znsont notées respectivementxn,yn,zn. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le moisn, a le mois suivant : 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
40 % de chance d’acheter la marque Y, 10 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le moisn, a le mois suivant : 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
50 % de chance d’acheter la marque X, 20 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le moisn, a le mois suivant : 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
10 % de chance d’acheter la marque X, 20 % de chance d’acheter la marque Y.
1. a. Exprimerxn+1en fonction dexn,ynetzn.
On admet que : yn+1=0, 4xn+0, 3yn+0, 2znet quezn+1=0, 1xn+0, 2yn+0, 7zn. b. Exprimer zn en fonction dexn et yn. En déduire l’expression dexn+1et yn+1en
fonction dexnetyn. 2. On définit la suite (Un) parUn=
µxn yn
¶
pour tout entier natureln.
On admet que, pour tout entier natureln, Un+1=A×Un+B oùA=
µ0, 4 0, 4 0, 2 0, 1
¶ etB =
µ0, 1 0, 2
¶ .
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 :n=0), on estime queU0= µ0, 5
0, 3
¶ . On considère l’algorithme suivant :
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algorithmique
Variables neti des entiers naturels.
A,B etUdes matrices Entrée et initialisation Demander la valeur den
iprend la valeur 0 Aprend la valeur
µ0, 4 0, 4 0, 2 0, 1
¶
Bprend la valeur µ0, 1
0, 2
¶
Uprend la valeur µ0, 5
0, 3
¶
Traitement Tant que i < n
Uprend la valeurA×U+B iprend la valeuri+1 Fin de Tant que
Sortie AfficherU
a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pourn=1 puis pourn=3.
b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ? 3. ....
4. ....
Pondichery Avril 2014
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Correction
1. a. D’après le texte, les acheteurs de la marque X le moisn+1 sont formés de 50 % des acheteurs de X le mois n donc 0, 5xn, de 50 % des acheteurs de Y le moisn donc 0, 5yn, et de 10 % des acheteurs de Z le moisndonc 0, 1zn; on a doncxn+1= 0, 5xn+0, 5yn+0, 1zn.
On admet que :yn+1=0, 4xn+0, 3yn+0, 2znet quezn+1=0, 1xn+0, 2yn+0, 7zn. b. D’après le texte, on peut dire que pour toutn,xn+yn+zn=1 donczn=1−xn−yn.
xn+1=0, 5xn+0, 5yn+0, 1zn=0, 5xn+0, 5yn+0, 1(1−xn−yn)
=0, 5xn+0, 5yn+0, 1−0, 1xn−0, 1yn=0, 4xn+0, 4yn+0, 1 yn+1=0, 4xn+0, 3yn+0, 2zn=0, 4xn+0, 3yn+0, 2(1−xn−yn)
=0, 4xn+0, 3yn+0, 2−0, 2xn−0, 2yn=0, 2xn+0, 1yn+0, 2 2. On définit la suite (Un) parUn=
µxn yn
¶
pour tout entier natureln.
On admet que, pour tout entier natureln,Un+1=A×Un+B oùA=
µ0, 4 0, 4 0, 2 0, 1
¶
etB = µ0, 1
0, 2
¶ .
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 :n=0), on estime queU0= µ0, 5
0, 3
¶ . a. En faisant tourner l’algorithme donné dans le texte, pourn=1 on entre une fois dans la boucleTANT QUE; on va donc appliquer une fois l’instruction «U prend la valeur A×U+B».
La valeur deUen entrée de boucle estU0= µ0, 5
0, 3
¶
, donc la valeur affichée en sortie est :
U1=A×U0+B=
µ0, 4 0, 4 0, 2 0, 1
¶
× µ0, 5
0, 3
¶ +
µ0, 1 0, 2
¶
= µ0, 42
0, 33
¶
Pourn=3, l’algorithme calcule successivementU1puis U2=A×U1+B=
µ0, 4 0, 4 0, 2 0, 1
¶
× µ0, 42
0, 33
¶ +
µ0, 1 0, 2
¶
= µ 0, 4
0, 317
¶ puis
U3=A×U2+B=
µ0, 4 0, 4 0, 2 0, 1
¶
× µ 0, 4
0, 317
¶ +
µ0, 1 0, 2
¶
=
µ0,386 8 0,311 7
¶
L’affichage obtenu pourn=3 est
µ0,386 8 0,311 7
¶ .
b. Le mois de janvier correspond àn=0, donc le mois d’avril correspond àn=3.
La matriceU3est la matrice µx3
y3
¶
=
µ0,386 8 0,311 7
¶
Donc la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril estx3=0,386 8.
3. ...
4. ...
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