TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 03/05/2019
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé.
Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit ݊un entier naturel.
On note : ܺ l’évènement « la marque X est utilisée le mois ݊»,
ܻ l’évènement « la marque Y est utilisée le mois ݊»,
ܼ l’évènement « la marque Z est utilisée le mois ݊».
Les probabilités des évènements ܺ, ܻ, ܼ sont notées respectivement ݔ, ݕ, ݖ. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois ݊, a le mois suivant :
• 50% de chance de rester fidèle à cette marque,
• 40% de chance d’acheter la marque Y,
• 10% de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois ݊, a le mois suivant :
• 30% de chance de rester fidèle à cette marque,
• 50% de chance d’acheter la marque X,
• 20% de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois ݊, a le mois suivant :
• 70% de chance de rester fidèle à cette marque,
• 10% de chance d’acheter la marque X,
• 20% de chance d’acheter la marque Y.
1. a. Exprimer ݔାଵ en fonction de ݔ, ݕet ݖ.
On admet que : ݕାଵ = 0,4ݔ+ 0,3ݕ+ 0,2ݖet que ݖାଵ = 0,1ݔ+ 0,2ݕ + 0,7ݖ. b. Exprimer ݖ en fonction de ݔ et ݕ. En déduire l’expression de ݔାଵ et ݕାଵ en fonction de ݔ et ݕ.
2. On définit la suite (ܷ) par ܷ = ቀݔ
ݕቁ, pour tout entier naturel ݊.
Justifier que, pour tout entier naturel n, ܷାଵ = ܣ × ܷ+ ܤoù ܣ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ et ܤ = ቀ0,10,2ቁ.
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2019 : ݊ = 0), on estime que ܷ = ቀ0,50,3ቁ .
On considère l’algorithme suivant :
Variables : n et i des entiers naturels.
A, B et U des matrices
Entrée et initialisation :
Demander la valeur de ݊ i prend la valeur 0
A prend la valeur ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ
B prend la valeur ቀ0,10,2ቁ U prend la valeur ቀ0,50,3ቁ
Traitement :
Tant que ݅ < ݊
U prend la valeur ܣ × ܷ + ܤ i prend la valeur ݅ + 1
Fin de Tant que
Sortie : Afficher U
a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour ݊ = 1 puis pour ݊ = 3. b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de ܷ en fonction de ݊. On note ܫla matrice ቀ1 00 1ቁ et N la matrice ܫ − ܣ.
3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
a. Démontrer que ܥ = ܣ × ܥ + ܤéquivaut à ܰ × ܥ = ܤ.
b. Justifier que ܰ est une matrice inversible et déterminer ܰିଵ. En déduire que ܥ = ቌ
ଵ
ସ ଶଷ
ቍ.
4. On note ܸ la matrice telle que ܸ = ܷ − ܥpour tout entier naturel ݊. a. Montrer que, pour tout entier naturel ݊, ܸାଵ = ܣ × ܸ.
b. Justifier que, pour tout entier naturel ݊, ܷ = ܣ × (ܷ− ܥ) + ܥ.
Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
