Corrig´e partielM´ecanique Quantique, Master PSPI (/20) 19/12/2011
Excercice 1 : Repr´esentation r´eelle des matrices de Pauli, Spin~/2 12 points 1. On montre que
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
| {z }
I
·
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
| {z }
I
=
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
| {z }
−1
.
Les carr´es des matrices de Pauli r´eelles donnent
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
·
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
| {z }
1
,
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
·
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
| {z }
1
,
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
·
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
| {z }
1
.
Ensuite on trouve
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
·
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
=
0 0 −1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 −1 0 0
,
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
·
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
=
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
,
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
·
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
=
0 0 0 −1
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
.
Pour comparaison
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
| {z }
I
·
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
=
0 0 −1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 −1 0 0
,
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
| {z }
I
·
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
=
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
,
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
| {z }
I
·
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
=
0 0 0 −1
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
.
Les produits mixtesΣk·Σl(k6=l) sont anticommutatifs :
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
·
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
=
0 0 1 0
0 0 0 −1
−1 0 0 0
0 1 0 0
=−Σx·Σy,
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
| {z }
Σx
·
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
=
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
=−Σz·Σx,
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
| {z }
Σz
·
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0
| {z }
Σy
=
0 0 0 1
0 0 1 0
0 −1 0 0
−1 0 0 0
=−Σy·Σz.
2. L’ensemble des valeurs et vecteurs propres des matricesΣkest r´eel parce que ces matrices sont r´eelles et sym´etriques. Une matrice
quelconqueAde dimensionsn×nqui est r´eelle et sym´etrique peut ˆetre diagonalis´ee par une matrice orthogonale dont les colonnes sont les vecteurs propres deA. On aA=D·Λ·DT, o `uΛ=diagλ1, . . . , λnet λk∈R.
3. L’hamiltonien a la forme g´en´eraleH=−γ~2 P3
k=1BkΣket avec B~ =B~ez on trouve
H=−γ~B 2
1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1
.
2
Les valeurs propres sont alors
−γ~B
2 ,−γ~B 2 ,γ~B
2 ,γ~B 2
notant qu’il y a deux valeurs propres,λ1,2 =∓γ~2B, de multiplicit´e2.
Les vecteurs propres correspondant sont les les colonnes de la matrice
D=
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
.
4. Partant des colonnes de la matriceD, la forme la plus g´en´erale pour le spineur correspondant `a une polarisation parall`ele `aB~ est
χ+=a
0 0 1 0
+b
1 0 0 0
, a2+b2 = 1,
et la forme la plus g´en´erale pour le spineur correspondant `a une polarisation antiparall`ele `aB~ est
χ−=c
0 0 0 1
+c
0 1 0 0
, c2+d2 = 1.
Pour les valeurs moyennes on trouve
hSxi±= ~
2χ†±·Σx·χ±= 0, hSyi±= ~
2χ†±·Σy·χ±= 0, hSxi±= ~
2χ†±·Σz·χ± =±~ 2.
Excercice 2 : Espace de Hilbert 8 points
1. Utilisant les d´efinitions de|y±iainsi que l’orhonormalit´e de la baseA
3
on obtient hy+|y+i=
i
√2hz+|+ 1
√2hz− | − i
√2|z+i+ 1
√2|z−i
= 1
2hz+|z+i+1
2hz− |z−i= 1, hy− |y−i=
− i
√2hz+|+ 1
√2hz− | i
√2|z+i+ 1
√2|z−i
= 1
2hz+|z+i+1
2hz− |z−i= 1, hy+|y−i=
i
√2hz+|+ 1
√2hz− | i
√2|z+i+ 1
√2|z−i
=−1
2hz+|z+i+1
2hz− |z−i= 0.
Commehy− |y+i=hy+|y−i∗ = 0on voit donc que la baseBest
´egalement orthonorm´ee.
2. Le mˆeme ´etat peut ˆetre exprim´e dans les deux basesAetB,
|χi=α+|z+i+α−|z−i=β+|y+i+β−|y−i.
Comme les basesAetBsont orthogonales, les composantesα±etβ±
sont donn´ee par les projections de|χisur les vecteurs de des baseAet B, respectivement,
α±=hz± |χi, β±=hy± |χi.
Avec ceci β+=
i
√2hz+| + 1
√2hz− |
| {z }
hy+|
{α+|z+i+α−|z−i}
| {z }
|χi
= i
√2α++ 1
√2α−,
β−=
− i
√
2hz+| + 1
√ 2hz− |
| {z }
hy+|
{α+|z+i+α−|z−i}
| {z }
|χi
=− i
√
2α++ 1
√ 2α−.
Si l’on d´efinit
χA= α+
α−
, χB = β+
β−
, on peut ´ecrire
χB =U·χA, U=
√i 2
√1 2
−√i
2
√1 2
. On v´erifie que
√i 2
√1 2
−√i
2
√1 2
| {z }
U
· −√i
2
√i 1 2
√ 2
√1 2
!
| {z }
U†
=
1 0 0 1
| {z }
1
.
4
