Universit´e BORDEAUX1 L2/2013 Alg`ebre 2
LISTE D’EXERCICES N0 10
Exercice 1 Soit f1 et f2 les endomorphismes de R3 (muni du produit scalaire euclidien standard) de matrices respectives dans la base canonique
A1 =
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
etA2 =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
.
V´erifier que ce sont des automorphismes orthogonaux. Sont-ce des sym´etries orthogo- nales ?
Exercice 2 D´eterminer la matrice dans la base canonique de R2 de la projection orthogonale sur la droite d’´equation x+ 2y = 0. En d´eduire la matrice de la sym´etrie orthogonale par rapport `a cette droite. Trouver une baseB dans laquelle la matrice de cette sym´etrie est diagonale.
Exercice 3 D´eterminer la matrice dans la base canonique de R3 de la projection orthogonale sur le plan d’´equationx+ 2y−3z= 0. En d´eduire la matrice de la sym´etrie orthogonale par rapport `a ce plan. Trouver une baseBdans laquelle la matrice de cette sym´etrie est diagonale.
Exercice 4 Mˆemes questions avec la projection orthogonale sur la droite d’´equations x+ 2y= 0 etz= 0 et la sym´etrie orthogonale par rapport `a cette droite.
Exercice 5 SoitE=R2[X] l’espace vectoriel des polynˆomes deR[X] de degr´e ≤2.
(a) Montrer que (P, Q) =R1
0 P(t)Q(t)dt est un produit scalaire sur E.
(b) Montrer queF ={aX+a;a∈R}est un sous-espace deE. D´eterminer la projection du polynˆomeX2 surF.
(c) Calculer infa∈R
R1
0(t2−at−a)2dt.
Exercice 6 Soit E un espace euclidien dont le produit scalaire est not´e h., .iet soit T un endomorphisme de E. On note T∗ son adjoint.
(a) V´erifier les propri´et´es suivantes : (T∗)∗ = T, rang(T∗) = rang(T), T etT∗ ont le mˆeme polynˆome caract´eristique.
(b) Montrer les ´egalit´es kerT∗= (ImT)⊥et (kerT)⊥= (ImT∗).
(c) SoitF un sous espace vectoriel stable parT. Montrer queF⊥ est stable parT∗. (d) Soit Rn[X] l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.
(e) Montrer queRn[X] muni de la forme bilin´eaire d´efinie sur Rn[X]×Rn[X] `a valeurs dansR parhP, Qi=R1
0 P(t)Q(t)dt est euclidien.
(f) Montrer que pour tout couple (P, Q)∈Rn[X]×Rn[X] on a
Z 1 0
P(t)Q(t)dt 2
≤ Z 1
0
P2(t)dt Z 1
0
Q2(t)dt.
A quelle condition cette in´` egalit´e devient-elle une ´egalit´e ?
(g) On pose E = R1[X]. Donner une base orthonorm´ee de E. Pour P ∈ E, on pose T(P) =XP0. Montrer queT est un endomorphisme deE. D´eterminerT∗.
