Soit M une matrice réelle orthogonale.

PanaMaths Février 2012

Soit M une matrice réelle orthogonale.

Montrer que les valeurs propres complexes de M sont de module égal à 1.

Analyse

On peut s’inspirer de la démonstration classique relative à la diagonalisabilité des matrices réelles symétriques.

Résolution

La matrice M est une matrice réelle orthogonale d’ordre n. Ses éléments sont donc réels et on a : M⁻¹= ^tM.

Soit λ une valeur propre complexe de M.

Il existe un vecteur propre (complexe) X non nul tel que : M X=λX.

En considérant la conjugaison et en tenant compte du fait que M est une matrice réelle ( M=M), il vient :

M X=λX⇔M X=λX⇔M X=λX⇔M X=λX⇔ =X M⁻1λX⇔ X=λ ^tM X En considérant cette fois la transposition, on a :

( ) ( )

M X=λX⇔ ^t M X = ^t λX ⇔^tX M^t =λ^tX⇔^tX M⁻ =λ^tX⇔ ^tX=λ^tX M Les deux résultats (encadrés) ci-dessus nous permettent d’écrire :

( )( ) ( )

( )

X X X M M X X M M X X X

t = λt λ t =λ λ t t = λ t

Posons :

1

X 2

n

x x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

# .

PanaMaths Février 2012

On a alors :

( )

1 2 2

1 2

1 1

X X=

n n

t

n i i i

i i

n

x

x x x x x x x

x

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ = =

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

"

#

Comme X≠0, on a : ²

1

X X 0

n

t i i

x

=

= ≠

∑

Il vient alors : ^{tX X= λ2}

(

)

Le résultat est ainsi établi.

Résultat final

Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle orthogonale ont pour module 1.