Projection orthogonale

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Projection orthogonale

TD16

Supplémentaire orthogonal

Exercice 16.1 (F)

DansR⁴ muni du produit scalaire canonique, déterminer une base deF^⊥ dans les deux cas suivants : F= Vect((1,1,0,2),(0,1,3,2)). F ={(x, y, z, t)∈R⁴, x+y−z+t= 0 etx−y−t= 0}.

Exercice 16.2 (F)

DansR³ muni du produit scalaire canonique, on noteF = Vect((0,0,2),(1,−1,0)).

1. Déterminer une base orthonormée C = (u1, u2, u3) de E telle que (u1, u2) soit une base orthonormée de F et (u3) une base orthonormée deF^⊥.

2. Notons Bla base canonique deR³. DéterminerP_C,B.

Exercice 16.3 (FF - Vecteur normal à un hyperplan -)

1. SoitF un hyperplan d’un espace euclidienE. Montrer qu’il existeu∈E tel que pour toutx∈E: x∈F ⇔ hx, ui= 0.

Un tel vecteur est ditnormal à l’hyperplan F.

2. Application. DansR³muni du produit scalaire canonique , on poseF ={(x, y, z)∈R³, 2x+3y−z= 0}.

Montrer queF est un hyperplan deR³ et déterminer un vecteur normal àF.

Exercice 16.4 (FF - Propriétés de l’orthogonal -)

SoientF etGdes sous-espaces vectoriels d’un espace préhilbertien réelE.

1. Montrer l’implication suivante : F ⊂G⇒G^⊥ ⊂F^⊥. 2. Montrer que :

F^⊥∩G^⊥ = (F+G)^⊥ ; F^⊥+G^⊥⊂(F∩G)^⊥.

3. En déduire que siE est de dimension finie et siF et Gsont des sous-espaces supplémentaires deE, alors E=F^⊥⊕G^⊥.

Exercice 16.5 (FF - Orthogonal d’un sous-espace en dimension infinie) On munitE=C([0,1],R) du produit scalaire défini par :

∀f, g∈E, hf, gi= Z 1

0

f(t)g(t)dt.

On considère l’espaceH={f ∈E, f(0) = 0}.

a) Soit f ∈H^⊥. On pose g:t7→tf(t). Que peut-on dire def et g? En déduire quef = 0E. b) En déduireH^⊥ et (H^⊥)^⊥. A-t-onH⊕H^⊥=E ?

Exercice 16.6 (FFF - QSP ESCP 2014)

SoitEun espace euclidien de dimension n≥3, et (a, b) une famille orthonormale de vecteurs deE. On définit f ∈L(E) par :

∀x∈E, f(x) =hx, aib− hx, bia.

1. Montrer que Im(f) = Ker(f)^⊥. 2. Étudier la diagonalisabilité de f.

1

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Projection orthogonale

Exercice 16.7 (F)

DansR³ muni du produit scalaire canonique, on considère le sous-espaceF= Vect((1,1,0),(−2,0,1)).

Déterminer le projeté dea= (−2,1,1) surF.

Exercice 16.8 (F - Calcul de projetés orthogonaux) SoitE=R3[X] muni du produit scalairehP, Qi=

Z 1

0

P(t)Q(t) dt.

1. Déterminer le projeté orthogonal deP₁=X²+X+ 1 surF₁=R1[X].

2. Déterminer le projeté orthogonal deP2=X³+X²+X+ 1 sur F2= Vect(X³+X, X²,1).

3. Déterminer le projeté orthogonal deP3=X²−1 surF3= Vect(1 +X, X²−X).

Réponses : p_F1(P₁) = 2X+⁵₆,p_F2(P₂) =X³+X²+X+ 1,p_F3(P₃) =−²⁰₁₁X²+³²₁₁X−¹⁰₁₁.

Exercice 16.9 (F)

SurMn(R), on considère le produit scalaire hA, Bi= Tr(^tAB). Soitp:Mn(R)→Mn(R) l’application définie parp(M) = M+ ^tM

2 .

1. Montrer quepest un projecteur deMn(R), et en déterminer l’image et le noyau.

2. Montrer quepest le projecteur orthogonal surSn(R). En déduire une expression du projecteur orthogonal surAn(R).

Exercice 16.10 (FF)

Pour tout couple de polynômes (P, Q) de l’espace vectoriel R2[X], on pose : hP, Qi=P(0)Q(0) +P⁰(0)Q⁰(0) +P⁰⁰(0)Q⁰⁰(0).

On note F = Vect(1 +X,−1 +X+X²) et B = (1, X, X²) la base canonique de R2[X]. On considère ϕla projection orthogonale surF.

1. Montrer queh·,·iest un produit scalaire surR2[X].

2. Déterminer une base orthonormée deF.

3. Calculerϕ(1),ϕ(X) etϕ(X²). En déduire la matrice deϕdans la base canonique.

Exercice 16.11 (FF)

DansR⁴ muni du produit scalaire usuel, on considèreF le sous-espace vectoriel défini par : {(x, y, z, t)∈R⁴, x+y−z= 0}.

On détermine la matrice dans la base canoniqueBde la projection orthogonalepsurF par deux méthodes.

1. Méthode 1.

(a) Déterminer une base orthonormale deF.

(b) DéterminerMB(p).

2. Méthode 2.

(a) Déterminer une base orthonormale deF^⊥.

(b) On noteq la projection orthogonale surF^⊥. DéterminerM_B(q).

(c) En déduireMB(p).

2

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Exercice 16.12 (FF)

SoitE un espace euclidien de base orthonormée (e1, . . . , en), soitF un sous-espace vectoriel deE de dimension 1, et soitple projecteur orthogonal surF. Montrer que :

n

X

i=1

kp(ei)k²= 1.

Exercice 16.13 (FFFF - Oral ESCP 2016)

Soit (E,h·,·i) un espace euclidien muni de la normek · kassociée au produit scalaire, etu∈L(E) vérifiant :

∀x∈E, ku(x)k ≤ kxk.

1. (a) Soitxun vecteur appartenant à Ker(u−id)∩Im(u−id). Justifier qu’il existey∈Etel que : ∀n∈N, nx=uⁿ(y)−y.

(b) En déduire queE= Ker(u−id)⊕Im(u−id).

2. On pose : ∀p∈N,v_p= 1 p+ 1

p

X

k=0

u^k, et on notewle projecteur sur Ker(u−id) parallèlement à Im(u−id).

Montrer que pour toutx∈E, la suite (v_p(x))_p∈N converge versw(x), c’est à dire que :

∀x∈E, lim

p→+∞kvp(x)−w(x)k= 0.

3. SoitQun projecteur deE, distinct de l’application nulle.

(a) Montrer que si Ker(Q) et Im(Q) sont orthogonaux, alors : ∀x∈E,kQ(x)k ≤ kxk.

(b) Réciproquement, on suppose que : ∀x ∈ E, kQ(x)k ≤ kxk. Soit x ∈ Im(Q) et y ∈ Ker(Q). En considérant les vecteurs z=x+λypour λ∈R, montrer que : hx, yi= 0.

(c) En déduire que le projecteurQnon nul est orthogonal si et seulement si∀x∈E,kQ(x)k ≤ kxk.

4. En déduire quewest un projecteur orthogonal.

Distance à un sous-espace

Exercice 16.14 (F)

Pour tous réelsxety, on note :

f(x, y) = (2 +x+ 2y)²+ (1−2x)²+ (1 + 2y)²+ (3 + 2x−y)².

On se place R⁴ muni du produit scalaire canonique. On note a = (−2,1,1,3) et F = Vect(u1, u2) avec u1= (1,2,0,−2) etu2= (2,0,−2,1).

1. Montrer que pour tout (x, y)∈R², on af(x, y) =ka−(xu₁+yu₂)k².

2. En déduire que la fonctionf admet un minimum atteint en un unique couple (x₀, y₀) que l’on déterminera, et préciser la valeur de ce minimum.

Exercice 16.15 (FF)

Déterminer (x, y)∈R²tel que f(x, y) = (−x+ 2)²+ (3x−y+ 1)²+ (x+y)² soit minimal.

Quelle est la valeur minimale de cette fonction ?

Exercice 16.16 (FF)

SiP =a₀+a₁X+a₂X²et Q=b₀+b₁X+b₂X² sont deux polynôme deR2[X], on pose hP, Qi=

2

X

i=0

aibi.

On poseF={P ∈R2[X], P(1) = 0}.

3

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1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deR2[X] et en déterminer une base.

2. Montrer queh·,·iest un produit scalaire surR2[X].

3. Déterminer la distance entre le polynôme X² etF.

Exercice 16.17 (FF)

Le but de cet exercice est de prouver l’existence et de calculer la valeur de

∆ = inf

(a,b)∈R²

Z 1

0

(e^t−a−bt)²dt.

SurE =C([0,1]), on définit un produit scalaire en posant pour tout (f, g)∈E²,hf, gi= Z 1

0

f(t)g(t) dt.

Soient f₁, f₂ et g les éléments de E définis par : ∀t ∈ R, f₁(t) = 1, f₂(t) = t et g(t) = e^t. On pose F = Vect(f₁, f₂). Soit Q=af₁+bf₂∈F.

1. Donner sous forme intégralekg−Qk².

2. En déduire qu’il existe un uniqueQ0∈F minimisantkg−Q0k². 3. Déterminer sans calcul les valeurs dehg−Q0, f1iet dehg−Q0, f2i.

4. En déduire la valeur de ∆.

Exercice 16.18 (FF)

Soitnun entier supérieur ou égal à 2, etE=Rn[X] muni du produit scalaire défini par :

∀(P, Q)∈E², hP, Qi=

n

X

i=0

P(i)Q(i).

On noteF ={P ∈E, P(0) =P(n) = 0}. On considère les polynômes : Mk = Y

i∈J0,nK\{k}

(X−i) et Nk= Mk

M_k(k) pour toutk∈J0, nK.

1. Montrer queh·,·iest un produit scalaire surE.

2. Montrer que (Nk)_0≤k≤n est une base orthonormée deE.

3. Montrer que (Nk)_{1≤k≤n−1} est une base orthonormée deF.

4. Déterminer l’expression de la projection orthogonale d’un polynômeP ∈E surF. 5. Calculer la distance deP àF pour tout polynômeP deE.

Exercice 16.19 (FFF)

On munitMn(R) du produit scalaire usuel. SoitF ={M ∈Mn(R), Tr(M) = 0}.

1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel deMn(R) et déterminer sa dimension.

2. DéterminerF^⊥.

3. Soit J la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Déterminer la distance entre la matriceJ et le sous-espaceF.

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