I — Un produit scalaire sur E

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 15

À rendre le mercredi 31 janvier

Toute calculatrice interdite Durée : 2h pour le premier jet

On confond polynôme et application polynomiale deRdansR.

On noteE l’ensemble des applicationsu:R→Rcontinues surRet telles que l’intégrale Z +∞

−∞

(u(x))²e^−x2dx

converge.

On noteF leR-espace vectoriel des applications polynomiales deRdansR.

On note, pour toutn∈N,Fn le sous-espace des applications polynomiales deRdansRde degré inférieur ou égal àn.

Enfin, on admet la formule suivante :

∀m∈R,

Z +∞

−∞

e^−(x−m)2dx = √ π.

I — Un produit scalaire sur E

1. Établir, pour tout(α, β)∈[0,+∞[² : αβ≤ 1

2(α²+β²).

2. En déduire que, pour tout(u, v)∈E², l’intégrale Z +∞

−∞

u(x)v(x)e^−x2dxconverge.

On note(· | ·)l’application deE² dansRqui, à tout(u, v)dansE² associe 1

√π Z +∞

−∞

u(x)v(x)e^−x2dx.

On notera la présence du facteur 1

√π.

3. (a) Démontrer queE est unR-espace vectoriel.

(b) Montrer que l’application(· | ·)est un produit scalaire surE.

4. Démontrer queF ⊂E.

On note encore(· | ·)la restriction àF ouF_n du produit scalaire(· | ·)surE. On admet que cette restriction est encore un produit scalaire surF ou surF_n.

On notek · kla norme sur E associée au produit scalaire(· | ·), définie, pour tout u∈E, par : kuk = p

(u|u).

II — Polynômes de Hermite

On notewl’application de RdansR, de classeC^∞, définie pour tout x∈Rparw(x) =e^−x2. Pour toutn∈N, on noteHn l’application deRdansRdéfinie pour toutx∈Rpar

H_n(x) = (−1)ⁿe^x2w⁽ⁿ⁾(x), oùw⁽ⁿ⁾ désigne la dérivéen-ième dew.

En particulier : H0(x) = 1.

1. Calculer, pour toutx∈R,H1(x),H2(x), H3(x).

Faire figurer les calculs sur la copie.

2. (a) Montrer, pour toutn∈Net toutx∈R:

Hn+1(x) = 2xHn(x)−H_n⁰(x).

(b) En déduire que, pour toutn∈N,Hn est un polynôme de degrén.

(c) Contrôler alors les résultats obtenus en II—1. et calculerH4. Faire figurer les calculs sur la copie.

3. Déterminer, pour toutn∈N, le coefficient du terme de plus haut degré deH_n. 4. Montrer, pour toutn∈Net toutx∈R: Hn(−x) = (−1)ⁿHn(x).

Qu’en déduit-on, en termes de parité, pour l’applicationH_n?

III — Lien entre le produit scalaire et les polynômes de Hermite

1. (a) Montrer, pour toutn∈N^∗ et toutP ∈F :

(P⁰|Hn−1) = (P|Hn),

où(· | ·)est le produit scalaire surF défini en I—4.

À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.

(b) En déduire, pour toutn∈N^∗et toutP ∈F_n−1 : (P|H_n) = 0.

(c) En déduire que, pour toutn∈N, la famille (H₀, . . . , H_n)est orthogonale dansF.

2. Établir que, pour toutn∈N, la famille(H0, . . . , Hn)est une base deFn. 3. Soitn∈N.

(a) Montrer quekHnk²= (Hn⁽ⁿ⁾|H0), oùk · kest définie en I—4.

(b) En déduire la valeur dekHnk.

4. Démontrer que :

∀(x, t)∈R², exp 2tx−t²

=

+∞

X

n=0

tⁿ n!Hn(x).

C’est la fonction génératrice de la famille (H_n)_n.

Bon courage !

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Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 15 – d’après BCE 2008 option S

éléments de correction

I — Un produit scalaire sur E.

Définissons dès maintenant l’application w de R dans R par : ∀x ∈ R, w(x) = e^−x2. Nous assimilerons sans vergogne polynôme et fonction polynomiale.

1. Soientαetβdeux réels quelconques. Alorsα²+β²−2α β= (α−β)²≥0, doncα²+β²≥2α β. En divisant par2 il vientα β≤1

2

α²+β²

. Par conséquent siαet β sont deux réels (positifs ou nuls) alorsα β≤1 2

α²+β² . 2. Soit uet v dans E, c’est-à-dire continues avec u²w et v²w intégrables sur R. Le produituvw est continu par

morceaux sur R. De plus d’après la question précédente :|uvw| ≤ 1

2(u²w+v²w) avec 1

2(u²w+v²w)qui est continue par morceaux et intégrable sur Rpar hypothèse. Ainsi par comparaison de fonctions positives : uvw est intégrable surR. Par conséquent

Z +∞

−∞

u(x)v(x)e^−x2dx est convergente.

3. (a) Démontrons queE est un sous-espace vectoriel deE⁰, leR-espace des applications continues deRdansR.

• Par définition,Eest contenu dansE⁰.

• L’application nulle est clairement dansE, qui ainsi n’est pas vide.

• Soitλ∈Ret (u, v)∈E². Tout d’abordλu est continue et bien entendu(λu)²w=λ²u²west intégrable surRpuisqueu²wl’est. Ainsiλuest dans E. Ensuite, remarquons que

|(u+v)²w| = |u²+v²+ 2uv|w ≤ (u²+v²+ 2|u| · |v|)w ≤ (u²+v²+u²+v²)w = 2(u²w+v²w),

donc(u+v)²west bien intégrable. Ainsiu+v est dansE.

Il s’ensuit que Eest un espace vectoriel (sous-espace de E⁰).

(b) • Notons déjà que siuet v sont dans E, alors Z +∞

−∞

u(x)v(x)e^−x2dxconverge d’après 2. donc(u|v)est bien défini !

• Par symétrie du produit dansR, l’application(· | ·)est symétrique.

• Par bilinéarité du produit dansRet linéarité de l’intégration, l’application(· | ·)est linéaire par rapport à sa première variable. Puis d’après le• précédent(· | ·)est bilinéaire.

• Soituun élément deE. Il vientu²w≥0puis par positivité de de l’intégrale : (u|u)≥0. Ainsi(· | ·)est positive.

• Soituun élément deEtel que(u|u) = 0, c’est-à-dire 1

√π Z +∞

−∞

u(x)2

e^−x2dx= 0. La fonctionu²west positive, continue et d’intégrale nulle, donc elle est identiquement nulle. Or wne prend que des valeurs strictement positives, d’oùu²est nulle, puis uest nulle. Finalement(· | ·)est définie positive.

Les cinq points précédents permettent de dire que : (· | ·)est un produit scalaire surE .

4. SoitPun élément deF, de coefficient dominantan6= 0. Montrons quePappartient àE. Tout d’abordx7→P(x) est continue sur R. Prouvons maintenant que

Z +∞

−∞

P(x)²e^−x2dxconverge. Cette intégrale n’a de problème de convergence qu’en±∞. Orx²P(x)e^{−x2 x→±∞}∼ anxⁿ⁺²e^{−x2 x→±∞}−→ 0par croissances comparées, doncP ∈E.

Par conséquent F ⊂E .

II — Polynômes de Hermite

1. Soitx∈R. Sans détour, nous obtenons :

w(x) = e^−x2, w⁰⁰(x) = −2e^−x2+ (−2x)²e^−x2 = (4x²−2)e^−x2

w⁰(x) = −2x e^−x2, w⁰⁰⁰(x) = 8x e^−x2+ (4x²−2) (−2x)e^−x2 = (−8x³+ 12x)e^−x2.

Ainsi

H0(x) = 1 , H2(x) = e^x2 (4x²−2)e^−x2

= 4x²−2 , H1(x) = −e^x2 −2x e^−x2

= 2x , H3(x) = −e^x2 (−8x³+ 12x)e^−x2

= 8x³−12x .

2. (a) Soitn∈Netx∈R. AlorsHn(x) = (−1)ⁿe^x2w⁽ⁿ⁾(x). En dérivant on obtient :

H_n⁰(x) = (−1)ⁿ(2x)e^x2w⁽ⁿ⁾(x) + (−1)ⁿe^x2w⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 2x H_n(x)−(−1)ⁿ⁺¹e^x2w⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

doncH_n⁰(x) = 2x H_n(x)−H_n+1(x)puis H_n+1(x) = 2x H_n(x)−H_n⁰(x).

(b) Montrons par récurrence que pour tout n ∈ N, le polynôme H_n est de degré n. La propriété est vraie pour n∈ {0,1,2,3}d’après la question 1. de cette partie. Supposons la propriété vraie pour un certain n.

Pour x∈Rfixé, la question précédente stipule que Hn+1(x) = 2x Hn(x)−H_n⁰(x). D’après l’hypothèse de récurrencexH_n(x)est de degrén+ 1et H_n⁰ est de degré n−1, doncH_n+1 est bien de degrén+ 1.

Finalement H_n est un polynôme de degrén. (c) Soit xun réel. DéjàH₀(x) = 1. Alors :

H1(x) = 2x H0(x)−H₀⁰(x) = 2x,

H2(x) = 2x H1(x)−H₁⁰(x) = 2x(2x)−2 = 4x²−2,

H₃(x) = 2x H₂(x)−H₂⁰(x) = 2x(4x²−2)−8x = 8x³−12x,

H4(x) = 2x H3(x)−H₃⁰(x), = 2x(8x³−12x)−(24x²−12) = 16x⁴−48x²+ 12.

Nous avons ainsi retrouvé les résultats de la question II.1, et obtenu également : H4(x) = 16x⁴−48x²+ 12. 3. FixonsndansNet notonsαnle coefficient dominantHn. Tout d’abordα0= 1carH0= 1. Ensuite, la formule de

la question 2.(a) et le fait quedeg(Hn) =npermettent d’affirmer queαn+1= 2αn. La suite(αn)nest ainsi géomé- trique de raison2et de premier terme1. Il s’ensuit queα_n= 2ⁿet donc : le coefficient dominant deH_n est2ⁿ . 4. Fixonsx∈R. En dérivantnfois la relationw(−x) =w(x), il vient : (−1)ⁿw⁽ⁿ⁾(−x) =w⁽ⁿ⁾(x).

En multipliant par(−1)ⁿe^x2, nous obtenons :(−1)ⁿ(−1)ⁿe^x2w⁽ⁿ⁾(−x) = (−1)ⁿe^x2w⁽ⁿ⁾(x).

En d’autres termes :(−1)ⁿHn(−x) =Hn(x).

Finalement : H_n(−x) = (−1)ⁿH_n(x). En particulier :

• Si nest pair, alorsHn est pair.

• Si nest impair, alorsHn est impair.

Ceci se résume en : Hn a la parité den .

III — Lien entre le produit scalaire et les polynômes de Hermite

1. (a) Soitn dansN^∗ et soit P un élément de F. Montrons que (P⁰|H_n−1) = (P|Hn). Pour ce faire effectuons une intégration par parties dans l’intégrale du membre de droite de l’égalité suivante :

(P⁰|H_n−1) = 1

√π Z +∞

−∞

P⁰(x)×H_n−1(x)e^−x2dx,

en posantu⁰(x) =P⁰(x)etv(x) =Hn−1(x)e^−x2 (les fonctionsuetvétant clairement de classeC^∞surR) : Z +∞

−∞

P⁰(x)×Hn−1(x)e^−x2dx = h

P(x)Hn−1(x)e^−x2i+∞

−∞− Z +∞

−∞

P(x) H_n−1⁰ (x)−2xHn−1(x)

e^−x2dx.

D’une part le terme tout intégré est nul par croissances comparées (du type « polynôme×exponentielle »).

D’autre part d’après la formule de la question II.2.(a) : Z +∞

−∞

P⁰(x)×H_n−1(x)e^−x2dx = Z +∞

−∞

P(x)

−Hn(x) e^−x2dx

puis en divisant par√

πnous obtenons comme espéré (P⁰|H_n−1) = (P|Hn).

(b) Fixons un entier naturel n. Effectuons une récurrence sur k afin de prouver que pour tout polynôme P, nous avons(P|Hn) = (P^(k)|H_n−k).

La propriété est clairement vraie pourk= 0. Supposons la propriété vraie pour un élémentkde[[0, n−1]].

Montrons la pourk+ 1. En appliquant le résultat de la question précédente il vient : (P^(k)|H_n−k) = ( P^(k)0

|H_(n−k)−1) = (P^(k+1)|H_n−(k+1))

et la récurrence est achevée. Par conséquent : pour toutk∈[[0, n]],(P|Hn) = (P^(k)|Hn−k). En particulier(P|Hn) = (P⁽ⁿ⁾|H0−0). Ceci donne : pour toutP ∈Fn−1,(P|Hn) = 0.

(c) SoitndansN. Montrons que(H0, H1, . . . , Hn)est une famille orthogonale. Soitietjdeux éléments distincts de [[0, n]]. Montrons que (H_i|H_j) = 0. Remarquons que(H_i|H_j) = (H_i|H_j), ce qui permet de supposer sans perdre de généralité que i < j. Il vient alorsH_i ∈F_i (cardegH_i =i), H_j ∈ F_j (cardegH_j =j) et Hi ⊂F_j−1 (cari≤j−1).

D’après la question précédente(H_i|H_j) = 0. Ainsi la famille(H₀, H₁, . . . , H_n)est orthogonale dansF . 2. La famille(H₀, . . . , H_n)est orthogonale et ne contient pas le polynôme nul. Ceci permet d’affirmer que c’est une

famille libre d’éléments deFn.

Par ailleursFn est de dimensionn+ 1, ainsi (H0, H1, . . . , Hn)est une base (orthogonale) deFn . 3. (a) Sans détour : kHnk² = (Hn|Hn) = (Hn⁽ⁿ⁾|H_n−n) = (Hn⁽ⁿ⁾|H0). D’où : kHnk² = (Hn⁽ⁿ⁾|H0).

(b) D’après la formule que nous venons de démontrer : kHnk² = (H_n⁽ⁿ⁾|H0) = 1

√π Z +∞

−∞

H_n⁽ⁿ⁾(x)H0(x)e^−x2dx.

Or Hn est de degrén(d’après II.2.(b)) et de coefficient dominant2ⁿ (d’après II.3.) etH0= 1, d’où : kHnk² = 1

√π Z +∞

−∞

2ⁿn!e^−x2dx = 2ⁿn!

√π Z +∞

−∞

e^−x2dx.

Enfin la formule donnée par l’énoncé au début du sujet nous donnekHnk²= 2ⁿn!puis kHnk=√ 2ⁿn! . 4. On peut écrireG(x, t) = exp(2tx−t²) = exp(−(t−x)²+x²) = 1

w(x)w(t−x). La fonction w :u7→e^−u2 est développable en série de Taylor convergente dansR, il vient alors :

G(x, t) = 1 w(x)w

(−x) +t

= 1

w(x)

+∞

X

n=0

w⁽ⁿ⁾(−x)tⁿ n!. Par ailleurs par définition deHn, parité de wet d’après la formule du II.4. :

G(x, t) = 1 w(x)

+∞

X

n=0

w⁽ⁿ⁾(−x)tⁿ n!

déf.= 1 w(x)

+∞

X

n=0

(−1)ⁿw(−x)Hn(−x)tⁿ n!

II.4= 1 w(x)

+∞

X

n=0

w(x)H_n(x)tⁿ n!. D’où la fonction génératrice de la suite (Hn(x))n :

exp(2tx−t²) =

+∞

X

n=0

tⁿ

nHn(x).