Fonction continue dérivable nulle part

Stanislas

Thème

Fonction continue dérivable nulle part

2016-2017

SoientI un intervalle de R,f une fonction deI dansRetx0 un point intérieur àI. 1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i). f est dérivable enx₀.

(ii). g: (h, k)→ ^f(x0+h)−f_h+k^(x0−k) admet une limite lorsque(h, k)∈(R+)² tend vers (0,0). 2. Montrer que ^f(x0+h)−f_2h ^(x0−h) peut admettre une limite lorsque h tend vers 0 sans que f soit dérivable en x₀.

On pose I = [0,1]et(f_n) la suite de fonctions dénie par

∗ f0(x) =x.

∗ fn est ane sur_k

3ⁿ,^k+1₃n

pour tout k∈J0,3ⁿ−1K.

∗ fn etfn−1 sont égales en ₃^3kn, ^3k+1₃ⁿ et ^3k+2₃ⁿ pour tout k∈J0,3ⁿ−1K.

3. Représenter graphiquementf0, f1 etf2. 4. Convergence uniforme.Soit n∈N.

a)Montrer que la pente maximale de f_nvaut 2ⁿ. b)Montrer que, pour tout k∈J0,3ⁿ−1Ketx∈_k

3ⁿ,^k+1₃n

,

|f_n+1(x)−fn(x)|6 1 3·2ⁿ

3ⁿ. c)Montrer que P

(fnn+ 1−fn) converge normalement vers une limite notée f.

d)En déduire que la suite (f_n) converge uniformément sur[0,1]vers f. e)Montrer que f est une fonction continue.

5. Non dérivabilité.Soitx₀∈[0,1]. Soitn∈N.

a)Montrer qu'il existe (h, k)∈(R+)² etp∈N tels quex0+h= ^p+1₃n etx0−k= ₃^pn. On pose, avec les notations de la question précédente,∆_n= 3ⁿh

f_n

p+1 3ⁿ

−f ₃^pn

i . b)Montrer que ∆_n+1 ∈ {2∆_n,−∆_n}.

c)En déduire que (∆n)n∈N n'admet pas de limite.

d)Montrer que f n'est dérivable en x0.

6. Écriture sous forme de série. Pour toutx∈[0,1]etn∈N, on pose g(x) =







x six61/3

−2x+ 1 si1/36x62/3 x−1 si2/36x61 On prolongeg par1-périodicité et on pose

gn(x) = (−1)^b3nxc

3ⁿ g(3ⁿx).

a)Montrer que f_n+1−f_n=g_n. b)En déduire que f(x) =x+

+∞

P

n=0

g_n(x).

Stanislas A. Camanes