Chap. 7, Développements limités Analyse Mathématique II
Propriétés des fonctions équivalentes
Prof. Mohamed El Merouani
Propriété 1 :
f ∼x0 g h ∼x0 k
=⇒
f h ∼x0 gk
f
h ∼x0 gk Propriété 2 :
1.
f ∼x0 g
x→xlim0
g(x) existe )
=⇒
( lim
x→x0
f(x) existe
x→xlim0 f(x) = lim
x→x0g(x)
2. lim
x→x0
f(x) et lim
x→x0
g(x) existent
x→xlim0
f(x) = lim
x→x0
g(x) 6= 0
)
=⇒f∼x0g Remarque :
Il n'existe pas une propriété relative à la somme et la diérence des fonctions équivalentes, c'est-à-dire, si
f ∼x0 g h ∼x0 k
alors on n'a pas nécessairementf ±h∼x0g±k Exemple :
x ∼0 x+x2
−x−x2 ∼0 −x+x2
mais x+ (−x−x2) = −x2 n'est pas équivalente à (x+x2) + (−x+x2) = 2x2 au voisinage de zéro.
Quelle relation de "∼" avec "o" :
f∼x0g ⇐⇒f −g =o(g) au voisinage de x0 ou encore :
f∼x0g ⇐⇒f −g =h avec h=o(g) au voisinage de x0 Exemple :
On a vu queLog(x+ 1) ∼0 xalorsLog(x+ 1)−x=o(x), au voisinage de 0 parce que limx→0
Log(x+ 1)−x
x = lim
x→0
log(x+ 1)
x −1 = 0
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