Fonction lnx *La fonction lnx est définie, continue et dérivable sur]0,

Fonction lnx

*La fonction lnx est définie, continue et dérivable sur]0, ₊ ∞ [et on a : (lnx)’=

x 1

* ln (1)=0 et ln(e) =1

* Soit f une fonction dérivable et strictement positive et on a : (ln(f))’=

f f '

* Soit f une fonction dérivable et non nulle Une primitive de

f f '

est la fonction ln(│f│)

* lnx ≥ 0 ssi x ≥ 1 et lnx ≤ 0 ssi 0 ≤ x ≤ 1

* les limites remarquables de lnx :

1)  



 x

x lim ln 2)

_

 

 x

x

ln lim

0

3) ln 0

lim 



 x

x

x 4) lim ln 0

0

_



 x x

x

5) (ln ) 0

lim 



 n

m

x x

x 6) lim (ln ) 0

0







m n

x

x

x

7) (ln ) 0

lim 



 n m

x x

x 8) lim (ln ) 0

0

_



 n m x

x x

9) 1

1 lim ln

1 



 x x

x 10) ln( 1 ) 1

lim 0  

 x

x

x

*Propriétés algébriques de lnx : pour tout x et y des réels de]0, ₊ ∞[

1) ln(x  y) =lnx + lny 2) ln(x ⁿ ) = n lnx ( n € ZI) 3) ln(

x

1 ) = - lnx 4)ln ( y

x ) = lnx – lny 5) ln( x ) =

2

1 lnx 6) ln( ⁿ x )=

n

1 lnx

Fonction e ^x

*La fonction e ^x est définie, continue et dérivable sur IR et on a :(e ^x )’= e ^x

* Soit f une fonction dérivable on a : (e ^f )’ = f’  e ^f

* Soit f une fonction dérivable

Une primitive de f’  e ^f est la fonction e ^f .

* les limites remarquables de e ^x :

1)  



 x

x lim e 2) lim  0



 x

x e

3)  



 x e ^x

x lim 4) lim  0



 x

x xe

5)  



 n

x

x x

lim e 6) lim  0



 x n

x x e

7)  



 n x

x x

lim e 8) lim  0



 n x

x x e

9) 1 1

lim 0  

 x

e ^x

x

*Propriétés algébriques de e ^x : pour tout réels x et y on a 1) e ^x+y =e ^x e ^y 2) (e ^x ) ⁿ = e ^nx ( n € ZI)

3) _x e ^x

e

 

1 ( e ^x e ^-x =1) 4) e ^x-y = _y

x

e e

5) e ^x e ^{2 x}

1

 6)

x n x n

e e

1



*Relation entre lnx et e ^x

* ln(e ^x ) = x pour tout réel x * e ^lnx =x pour tout x €] 0, + ∞ [

* lnx =y avec x € ] 0, + ∞ [  e ^y = x avec y € IR