Soit φ la fonction définie sur R

(1)

TS Correction Fiche TP 10 _2013-2014

Soit φ la fonction définie sur R

^∗

par :

φ(x) =

1 + 1 x

e

^1/x

+ 1 1. On admet que φ est dérivable sur tout intervalle inclus dans R

^∗

.

On peut écrire que φ = ue

^v

+ 1 avec

u : x 7−→ 1 + 1

x u

^′

: x 7−→ − 1 x

²

v : x 7−→ 1

x v

^′

: x 7−→ − 1 x

²

et φ

^′

= u

^′

e

^v

+ u (e

^v

)

^′

= u

^′

e

^v

+ u v

^′

e

^v

Pour tout x 6= 0, φ

^′

(x) = − 1 x

²

e

^1/x

+

1 + 1

x

×

− 1 x

²

e

^1/x

= − 1 x

²

1 + 1 + 1 x

e

^1/x

= − 1 x

²

2 + 1

x

e

^1/x

= − 1 x

²

2x + 1 x

e

^1/x

= −

2x + 1 x

³

e

^1/x

2. Signe de la dérivée φ

^′

(x) et rassembler les résultats dans un tableau.

• ∀x 6= 0, e

^1/x

> 0 ;

• Le signe de φ

^′

(x) est donc celui de − 2x + 1

x

³

; 2x + 1 s’annule en − 1

2 et x

³

s’annule en 0. Compte-tenu de ce que l’on sait sur les fonctions de référence :

x

2x + 1 x

³

Signe de 2x + 1

x

³

Signe de − 2x + 1

x

³

−∞ − 1

2 0 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − +

− 0 + −

3. En déduire les variations de φ et le signe de φ(x) sur R

^∗

. (il faudra pour cela calculer des limites) Grâce à l’étude de signe de la question précédente, on peut réaliser le tableau de variations :

x Signe de φ

^′

(x)

Variations de φ

−∞ − 1

2 0 +∞

− 0 + −

2 2

1 − e

⁻²

1 − e

⁻²

1 +∞

2 2 Calculs des limites :

x→−∞

lim 1 x = 0

X

lim

→0

e

^X

= 1







(composition)

x→−∞

lim e

^1/x

= 1

x→−∞

lim 1 + 1 x = 1







(somme)

x→−∞

lim φ(x) = 2 et idem, en + ∞, lim

x→+∞

φ(x) = 2.

My Maths Space 1 sur 2

(2)

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∀x 6= 0,

1 + 1 x

e

^1/x

+ 1 = e

^1/x

+ 1

x e

^1/x

+ 1.

On pose X = 1

x et l’expression précédente devient égale à, en fonction de X : e

^X

+ Xe

^X

+ 1

Si x −→

x<0

0 X −→ −∞ e

^X

−→

X→−∞

0 et X e

^X

−→

X→−∞

0 (R) donc e

^X

+ X e

^X

+ 1 −→

X→−∞

1 Si x −→

x>0

0 X −→ +∞ e

^X

−→

X→+∞

+∞ et Xe

^X

−→

X→+∞

+∞ (R) donc e

^X

+ Xe

^X

+ 1 −→

X→+∞

+∞

D’où les résultats dans le tableau de variations.

Signe de φ(x) sur R

^∗

.

Par simple lecture du tableau de variations et comme 1 − e

⁻²

> 0, on peut affirmer que φ(x) > 0 sur R

^∗

. 4. On considère la fonction f définie sur R

^∗

par :

f (x) = x 1 + e

^1/x

On admet que f est dérivable sur tout intervalle inclus dans R

^∗

.

On peut écrire que f = u 1 + e

^v

avec

u : x 7−→ x u

^′

: x 7−→ 1 v : x 7−→ 1

x v

^′

: x 7−→ − 1 x

²

et f

^′

= u

^′

(1 + e

^v

) − u(−v

^′

e

^v

) (1 + e

^v

)

²

Pour tout x 6= 0, f

^′

(x) = 1 × (1 + e

^1/x

) − x(−1/x

²

)e

^1/x

(1 + e

^1/x

)

²

= 1 + e

^1/x

+ (1/x)e

^1/x

(1 + e

¹^/x

)

²

= φ(x)

(1 + e

^1/x

)

²

Or,

• ∀x 6= 0, (1 + e

^1/x

)

²

> 0 ;

• D’après la question 3, φ(x) > 0 sur R

^∗

.

On peut donc écrire que f

^′

(x) > 0 sur R

^∗

et donc que la fonction f est strictement croissante sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.

HORS programme : La fonction f est prolongeable par continuité en 0. En effet lim

x→0 x>0

f (x) = lim

x→0 x<0

f (x) = 0 donc en posant f (0) = 0, la fonction f ainsi obtenue est continue sur R. En revanche, f n’est pas dérivable en 0 car le taux d’accroissement de f en 0 admet une limite à gauche différente de la limite à droite.

My Maths Space 2 sur 2

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