MPSI B Année 2018-2019. DM 11 pour le 22/02/19 29 juin 2019
Exercice
Une rédaction très précise est exigée pour cet exercice. Les théorèmes et les objets ma- thématiques utilisés devront être exactement cités.
Soit E = C 0 ( R , R ) l'ensemble des fonctions continues de R dans R et F( R , R ) l'ensemble de toutes les fonctions de R dans R. On dénit une fonction Φ :
Φ :
( C 0 ( R , R ) → F( R , R )
f 7→ g avec g :
(
R → R x 7→ xf(x) . 1. Montrer que Φ est linéaire.
2. Montrer que Φ est injective.
3. Quelle propriété caractérise, pour une fonction quelconque h dénie dans R, le fait d'être dans l'image de Φ ?
Problème
On désigne par E a l'ensemble des suites réelles u = (u n ) n∈N satisfaisant à la relation de récurrence
∀n ∈ N , 4u n+3 = 4(1 + a)u n+2 − (1 + 4a)u n+1 + u n (1) On note K l'ensemble des suites constantes.
1. a. Montrer que E a est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles b. Montrer que dim E a = 3 .
2. a. Montrer que K est un sous-espace vectoriel de E a .
b. Soit u = (u n ) n∈N un élément de E a , on dénit une suite v = (v n ) n∈N en posant
∀n ∈ N , v n = u n+1 − u n
Établir une relation de récurrence (2) satisfaite par v .
c. On désigne par F a l'ensemble des suites réelles satisfaisant (2) . Montrer que F a
est un sous-espace vectoriel de E a .
3. Déterminer une base de F a . On distinguera trois cas : 0 ≤ a < 1, a = 1, a > 1 Lorsque 0 ≤ a < 1 , on posera a = cos θ avec θ ∈]0, π 2 [ . Lorsque a > 1 , on posera a = ch θ avec θ > 0
4. Montrer qu'il existe une unique valeur a 0 de a que l'on calculera pour laquelle K ⊂ F a . 5. Dans cette question, a est diérent du a 0 de la question précédente.
a. Montrer que K et F a sont supplémentaires dans E a . Comment se décompose une suite de E a en la somme d'une suite de K et d'une suite de F a ?
b. En déduire une base de E a dans chacun des trois cas.
6. Montrer que (n) n∈N ∈ E a
0. En déduire une base de E a
0. 7. Soit u l'élément de E a déterminé par les conditions initiales
u 0 = 1 − p
|a 2 − 1|, u 1 = 1, u 2 = 1 + 1 4
p |a 2 − 1|
Calculer u n en fonction de n . On discutera suivant les valeurs de a en utilisant les mêmes notations que dans la question 3.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
