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Compléments sur les fonctions de R dans R ou C

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Academic year: 2021

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(1)

Compléments sur les fonctions de R dans R ou C

Plan du chapitre

1

Opérations sur les fonctions . . . .page 2

2

Quelques transformations d’un graphe . . . .page 2 2.1Quelques transformations géométriques dans le plan . . . page 2 2.1.1 Translations . . . page 2 2.1.2 Homothéties . . . page 3 2.1.3 Symétries centrales . . . page 3 2.1.4 Symétries orthogonales par rapport à une droite . . . page 4 2.1.4 Affinités orthogonales . . . page 5 2.2Quelques transformations d’un graphe . . . page 5 2.2.1 Graphe dex7→f(x) +a. . . page 5 2.2.2 Graphe dex7→f(x+a). . . page 6 2.2.3 Graphe dex7→f(a−x). . . page 6 2.2.4 Graphe dex7→af(x). . . page 7 2.2.5 Graphe dex7→f(ax). . . page 7

3

Fonctions paires, impaires. Symétrie des graphes . . . .page 8 3.1Fonctions paires, impaires . . . page 8 3.2Axe de symétrie « vertical » . . . page 9 3.3Centre de symétrie . . . page 10

4

Fonctions périodiques . . . .page 12

5

Inégalités. Sens de variation. . . .page 14 5.1Fonctions majorées, minorées, bornées . . . page 14 5.1Sens de variation d’une fonction . . . page 15 5.3Obtention d’inégalités. Etudes de signes . . . page 17 5.3.1 Rappels des différentes techniques pour gérer inégalités et encadrements . . . page 17 5.3.2 Utilisation d’une dérivée . . . page 18

6

Compléments sur la dérivation . . . .page 18 6.1Dérivée d’une composée . . . page 18 6.2Dérivation des fonctions à valeurs dansC. . . page 19 6.3Compléments sur la réciproque d’une bijection . . . .page 20 6.3.1Rappels . . . page 20 6.3.2Cas particuliers des applications deRdansR. . . page 20

(2)

1 Opérations sur les fonctions

Si fet gsont deux fonctions définies sur un même domaine non videD deRà valeurs dansRouC, on peut définir un certain nombre d’opérations sur les deux fonctionsfet g.

Addition de fonctions.La somme def et degest la fonction, notéef+g, définie par

∀x∈D, (f+g)(x) =f(x) +g(x).

Multiplication d’une fonction par un nombre.Si λ est un nombre (réel ou complexe), le produit de la fonction f par le nombreλest la fonction, notéλf, définie par

∀x∈D, (λf)(x) =λf(x).

Combinaison linéaire de fonctions.Siλetµsont deux nombres (réels ou complexes), la combinaison linéaireλf+µg, est la fonction définie par

∀x∈D, (λf+µg)(x) =λf(x) +µg(x).

➱ Commentaire.

⋄ La définition précédente se généralise à un nombre quelconque (fini) de fonctions. Par exemple, une combinaison linéaire des fonctionsf,gethestλf+µg+νh...

⋄ Une combinaison linéaire est le résultat d’une opération complexe construite à partir des deux opérations élémentaires « somme » et

« multiplication par un nombre ».

⋄ Avec le vocabulaire ainsi défini, on peut par exemple dire que tout polynôme est une combinaison linéaire de monômes.

Produit de fonctions.Le produit de fet degest la fonction, notéef×g, définie par

∀x∈D, (f×g)(x) =f(x)×g(x).

Quotient de fonctions.Si de plus la fonction gne s’annule pas sur D, le quotient def pargest la fonction, notée f g, définie par

∀x∈D, f

g

(x) = f(x) g(x).

2 Quelques transformations d’un graphe

Le but de cette section est de faire subir au grapheCfd’une certaine fonctionf(définie sur un domaineDdeRà valeurs dansR), un certain nombre de transformations géométriques simples du plan. On définit d’abord ces transformations.

2.1 Quelques transformations géométriques dans le plan

2.1.1 Translations

On se donne un vecteur−→u du plan. Latranslationde vecteur−→u est l’application du plan dans lui-même, notéetu, qui à un pointMdu plan associe le pointM défini par−−−→

MM=−→u.

b b

M

M

−−−→ MM

=−→u

→u

On a les résultats immédiats suivants :

• pour tous vecteurs−→u et−→v,tu ◦tv =tu+v =tv ◦tu.

• pour tout vecteur−→u,tu est une bijection du plan sur lui-même et(tu)−1=t−u.

• Si−→u(a, b),M(x, y)etM(x, y), alors

x=x+a y =y+b .

(3)

2.1.2 Homothéties

On se donne un point du planΩet un réelk. L’homothétiede centreΩet de rapportkest l’application du plan dans lui-même, notéehΩ,k, qui à un pointMdu plan associe le pointM défini par−−−→

ΩM =k−−→ ΩM.

b b b

M

M

−−−→ ΩM

=k−−→

ΩM

On a les résultats immédiats suivants :

• pour tout pointΩet tous réelsk etk,hΩ,k◦hΩ,k =hΩ,kk =hΩ,k◦hΩ,k.

• sik6=0,hΩ,kest une bijection du plan sur lui-même et (hΩ,k)−1=hΩ,1

k.

• SiΩ(a, b),M(x, y)etM(x, y), alors

x=a+k(x−a) y=b+k(y−b) . 2.1.3 Symétries centrales

Commençons par déterminer le symétrique d’un réel par rapport à un autre sur l’axe réel. Soient a et xdeux réels. Le symétrique dexpar rapport àaest le réelx tel que x+x

2 =aou encore tel quex=2a−x. On doit retenir : le symétrique du réel xpar rapport au réel aest le réel2a−x,

x=2a−x

b b bxa

Par exemple, le symétrique de17par rapport à 41et 2×41−17=65 ou aussi le symétrique de π

4 par rapport à π 2 est 2×π

2 − π

4 =π−π 4 = 3π

4 .

Soit alorsΩ(a, b)un point du plan. La symétrie centralede centreΩ est l’application du plan dans lui-même, notée s, qui à un pointMdu plan associe le point M défini par−−−→

ΩM= −−−ΩM.→ On a immédiatement

• la symétrie centrale de centreΩest aussi l’homothétie de centreΩet de rapport−1.

• l’égalité−−−→

ΩM = −−−ΩM→est équivalente au fait queΩ est le milieu du segment[MM].

• La symétrie centrale de centreΩest une bijection du plan sur-lui même car la symétrie centrale de centre Ω est involutive :(s)−1=s.

• SiΩ(a, b),M(x, y)etM(x, y), alors

x=2a−x y=2b−y .

b

a b

b

b

2a−x

2a−y

x Ω(a, b)

M(x, y)

M(2a−x, 2a−y)

(4)

2.1.4 Symétries orthogonales par rapport à une droite

On se donne une droiteD. Lasymétrie orthogonaled’axeD(ou laréflexion d’axeD) est l’application du plan dans lui-même, notéesD, qui à un pointMdu plan associe le pointM tel que : siM∈D, alorsM=Met siM /∈D, alors la droiteDest la médiatrice du segment[M, M].

b

b

M M

D

On a immédiatement

• La réflexion d’axeDest une bijection du plan sur-lui même car la réflexion d’axe Dest involutive :(sD)−1=sD. Nous ne chercherons pas ici à exprimer les coordonnées du pointM en fonction de celles du pointMdans le cas général.

Nous nous contenterons de trois cas particuliers immédiats.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé

O,−→i ,−→j .

• L’image du pointM(x, y)par la réflexion d’axe la droite d’équation y=xa pour coordonnées(y, x).

• L’image du pointM(x, y)par la réflexion d’axe la droite d’équation y= −xa pour coordonnées(−y,−x).

−1 1 2 3

1 2 3

−1

b

b

x=y x y

y=x

M M

−1 1 2 3

1

−1

−2

−3

b b

x

x= −y

y y= −x M

M

• Soitaun réel. Les coordonnées du symétrique M(x, y)du pointM(x, y)par rapport à la droiteD d’équation x=aa pour coordonnées(2a−x, y).

a

b

b

x 2a−x

(2a−x, y) (x, y)

(5)

2.1.5 Affinités orthogonales

On se donne une droiteDet un nombrek. L’affinité orthogonaled’axeDet de rapportkest l’application du plan dans lui-même, notéeaD,kou affD,k, qui à un pointMdu plan associe le pointM tel que :−−−→

HM=k−−→

HMoùHest le projeté orthogonal deMsur la droiteD.

bbb

H M M

D

−−−→

HM=k−−→ HM

Nous ne chercherons pas non plus à exprimer les coordonnées du pointM en fonction de celles du point Mdans le cas général. Nous nous contenterons de deux cas particuliers immédiats :

• SiDest l’axe(Ox)et siMa pour coordonnées(x, y), le pointM a pour coordonnées(x, ky).

• SiDest l’axe(Oy)et siMa pour coordonnées(x, y), le pointM a pour coordonnées(kx, y).

2.2 Quelques transformations d’un graphe

2.2.1 Graphe de x7→f(x) +a

On se donnef : D⊂R→R. On se donne ensuite un réelaet on considère la fonction g : x7→f(x) +a.

Soient x ∈D puisM le point deCg d’abscisse x. Les coordonnées de Msont (x, g(x)) = (x, f(x) +a). Ce point est le translaté du point deCfde coordonnées(x, f(x))par la translation de vecteur−→u(0, a).

x f(x)

g(x) =f(x) +a Cf

Cg

→u

Ensuite, Cfest {(x, f(x)), x∈D}puisCg ={(x, g(x)), x∈D}={(x, f(x) +a), x∈D}={tu(x, f(x)), x∈D}=tu(Cf).

Donc,

le graphe de la fonction x7→f(x) +aest le translaté du graphe de la fonction x7→f(x) dans la translation de vecteur −→u(0, a).

(6)

2.2.2 Graphe de x7→f(x+a)

On se donnef : D⊂R→R. On se donne ensuite un réela et on considère la fonctiong : x7→f(x+a). La fonctiong est définie surD−a={x−a, x∈D}.

Soientx∈D−apuisMle point deCg d’abscisse x. Les coordonnées de Msont(x, g(x)) = (x, f(x+a)). Ce point est le translaté du point deCfde coordonnées(x+a, f(x+a))dans la translation de vecteur −→u de coordonnées(−a, 0).

Notons qu’il revient au même de dire que pour toutx de D, le translaté du point de coordonnées (x, f(x))de Cf est le point de coordonnées(x−a, f(x)) = (x−a, g(x−a))deCg.

Par suite,

Cg ={(x, g(x)), x∈D−a}={(x, f(x+a)), x∈D−a}={tu(x+a, f(x+a)), x∈D−a}

={tu(x, f(x)), x∈D}=tu(Cf).

Au passage, on a utilisé le fait que l’applicationx7→x+a est une bijection deD−asur Det doncxdécrit D−a si et seulement six =x+adécrit D.

Le graphe de la fonctionx7→f(x+a)est le translaté du graphe de la fonctionx7→f(x) dans la translation de vecteur−→u(−a, 0).

x+a x

f(x+a) =g(x) Cf Cg

→u

2.2.3 Graphe de x7→f(a−x)

On se donnef : D⊂R→R. On se donne ensuite un réela et on considère la fonctiong : x7→f(a−x). La fonctiong est définie surD ={a−x, x∈D}(le domaineD est le symétrique du domaineD par rapport au réel a

2). En notant∆ la droite d’équationx= a

2,

Cg ={(x, g(x)), x∈D}={(x, f(a−x)), x∈D}={s(a−x, f(a−x)), x∈D}

=s(Cf).

Le graphe de la fonctionx7→f(a−x)est le symétrique du graphe de la fonctionx7→f(x) par la réflexion d’axe la droite d’équationx= a

2.

(7)

a−x x g(x) =f(a−x)

Cg

Cf

a 2

2.2.4 Graphe de x7→af(x) (a6=0)

On se donne f : D ⊂ R→ R. On se donne ensuite un réel non nul a et on considère la fonction g : x7→ af(x). La fonctiongest définie surDpuis

Cg ={(x, g(x)), x∈D}={(x, af(x)), x∈D}=

aff(Ox),a(x, f(x)), x∈D

=aff(Ox),a(Cf).

Le graphe de la fonctionx7→af(x)est l’image du graphe de la fonctionx7→f(x) par l’affinité d’axe(Ox)et de rapporta.

x g(x) =af(x)

f(x)

Cg Cf

b

2.2.5 Graphe de x7→f(ax) (a6=0)

On se donne f : D ⊂ R→ R. On se donne ensuite un réel non nul a et on considère la fonction g : x7→ f(ax). La fonctiongest définie surD =x

a, x∈D puis

Cg={(x, g(x)), x∈D}={(x, f(ax)), x∈D}=

aff(Oy),a1(ax, f(ax)), x∈D

=

aff(Oy),1a(x, f(x)), x ∈D

=aff(Oy),1

a(Cf).

(8)

Le graphe de la fonctionx7→f(ax)est l’image du graphe de la fonctionx7→f(x) par l’affinité d’axe(Oy)et de rapport 1

a.

ax x

g(x) =f(ax)

Cf Cg

b

3 Fonctions paires, impaires. Symétries des graphes

3.1 Fonctions paires, impaires

Définition 1.SoitDune partie non vide de R.Dest symétrique par rapport à0 si et seulement si

∀x∈R, (x∈D⇔−x∈D).

Par exemple,R,R,R\ {−1, 1}ou] −1, 1[sont symétriques par rapport à0 mais] −1, 1]ouR\ {1}ne le sont pas.

Définition 2.Soitfune fonction définie sur une partie non videDdeR, symétrique par rapport à0, à valeurs dans RouC.

festpairesi et seulement si∀x∈D,f(−x) =f(x).

festimpairesi et seulement si∀x∈D,f(−x) = −f(x).

Exemples.

• La fonctionf : x7→x2est paire car définie surR(qui est symétrique par rapport à0) et pourx∈R, f(−x) = (−x)2=x2=f(x).

Plus généralement, les fonctions x 7→ x2n, n ∈ Z (exposant pair), sont des fonctions paires. La notion de « fonction paire » fait référence à ces fonctions de base.

•La fonctionf : x7→x3 est impaire car définie surRet pourx∈R, f(−x) = (−x)3= −x3= −f(x).

Plus généralement, les fonctionsx7→x2n+1,n∈Z(exposant impair), sont des fonctions impaires. La notion de « fonction impaire » fait référence à ces fonctions de base.

•La fonctionf : x7→x3+x+1n’est ni paire, ni impaire carf(1) =3,f(−1) = −1et doncf(−1)6=f(1)etf(−1)6= −f(1).

On démontrera plus tard qu’un polynôme est pair (resp. impair) si et seulement si ce polynôme « ne contient » que des exposants pairs (resp. impairs).

•La fonction nulle (définie surR) est une fonction qui est à la fois paire et impaire. Démontrons que c’est la seule fonction à la fois paire et impaire.

Soitfune fonction définie sur Rà la fois paire et impaire. Alors, pour tout réelx,f(x) =f(−x) = −f(x)puis2f(x) =0et doncf(x) =0. Ainsi, seule la fonction nulle est à la fois paire et impaire. ❏

Exercice 1.Etudier la parité de la fonctionf : x7→ln

ex−1 ex+1 .

Solution 1.Soitx∈R.ex+1 > 0et en particulierex+16=0. D’autre part part,ex−1=0⇔x=0. Donc, pourx6=0,

ex−1 ex+1

> 0et pourx=0,

ex−1 ex+1

=0. Ainsi,f(x)existe si et seulement six6=0. La fonction fest définie surD=R qui est symétrique par rapport à0. Soitx∈D.

(9)

f(−x) =ln

e−x−1 e−x+1

=ln

1 ex −1

1 ex +1

=ln

1−ex 1+ex

=ln

ex−1 ex+1

=f(x).

On a montré que la fonctionfest paire.

Théorème 1.Sif est une fonction impaire et sif est définie en0, alorsf(0) =0.

Démonstration

. Sifest impaire et définie en0, alorsf(0) =f(−0) = −f(0)puis2f(0) =0et finalementf(0) =0.

❏ Théorème 2.Soient f et gdeux fonctions définies sur un domaine non videD deR, symétrique par rapport à 0 à valeurs dansRouC.

Sif etgsont paires (resp. impaires), toute combinaison linéaire defetgest paire (resp. impaire).

Ainsi, toute combinaison linéaire de fonctions paires (resp. impaires) est paire (resp. impaire). Par exemple, toute combinai- son linéaire de monômes pairs (resp. impairs) est un polynôme pair (resp. impair). Ainsi, le polynômeP : x7→5x6−4x2+3 est pair et le polynôme Q : x7→−x7+5x3+x est impair. On peut noter qu’une fonction constante non nulle est une fonction paire (et on rappelle que la fonction nulle est à la fois paire et impaire).

Démonstration

. Soientλetµdeux nombres (réels ou complexes). Supposonsfetgpaires. Alors, pour toutxdeD,

(λf+µg)(−x) =λf(−x) +µg(−x) =λf(x) +µg(x) = (λf+µg)(x).

Donc, la fonctionλf+µgest paire. La démonstration est analogue sifetgsont impaires.

❏ Théorème 3.Soient f et gdeux fonctions définies sur un domaine non videD deR, symétrique par rapport à 0 à valeurs dansRouC.

Sif etgsont toutes deux paires ou toutes deux impaires, la fonctionf×gest paire.

Si une des deux fonctionsfougest paire et l’autre impaire, la fonctionf×gest impaire.

Démonstration .

Supposonsfetgpaires. Alors, pour toutxdeD,(f×g)(−x) =f(−x)g(−x) =f(x)g(x) = (f×g)(x). Donc,f×gest paire.

Supposonsfetgimpaires. Alors, pour toutxdeD,(f×g)(−x) =f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) =f(x)g(x) = (f×g)(x). Donc,f×g est paire.

Supposonsfpaire etgimpaire. Alors, pour toutxdeD,(f×g)(−x) =f(−x)g(−x) =f(x)(−g(x)) = −f(x)g(x) = −(f×g)(x). Donc, f×gest impaire.

➱ Commentaire.

⋄ On dit parfois que la parité def×gobéit à la « règle des signes ».

⋄ On a un théorème identique pour les quotients de fonctions.

3.2 Axe de symétrie « vertical »

Le plan est muni d’un repère orthonormé O,−→

i ,−→ j

. Soitf une fonction définie sur un domaine non vide D deR et à valeurs dansR. On sait que le graphe de la fonctiong : x7→f(−x)est le symétrique du graphe defpar rapport à l’axe (Oy).

Mais alors,fpaire⇔f=g⇔Cf=Cg. Donc

Théorème 4.Soitfune fonction définie sur un domaine non videDdeR, symétrique par rapport à0, à valeurs dans R.

fest paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’axe(Oy).

(10)

b

b

x −x

f(−x) =f(x)

Cf

Plus généralement,

Définition 3.Soient Dune partie non vide deRet aun réel.

Dest symétrique par rapport à asi et seulement si pour tout réelx,(x∈D⇔2a−x∈D).

➱ Commentaire. Dans la définition ci-dessus, l’équivalence (x ∈ D ⇔ 2a−x ∈ D) peut être remplacée par l’implication (x∈ D⇒2a−x∈ D) car l’application x7→2a−x est involutive (comme toute symétrie). En effet, si on suppose que ∀x ∈R, (x∈D⇒2a−x∈D)alors, pour tout réelx,

2a−x∈D⇒2a− (2a−x)∈D⇒x∈D.

On sait que le graphe de la fonctiong : x7→f(2a−x)est le symétrique du graphe defpar rapport à la droite d’équation x=a. Donc,

Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un domaine non vide D de R, symétrique par rapport à un réela, à valeurs dansR.

Le graphe defest symétrique par rapport à la droite d’équation si et seulement si∀x∈D,f(2a−x) =f(x).

➱ Commentaire. Il revient au même de dire que la fonctionx7→f(x−a)est paire.

Exercice 2.Soitf : x7→x2−4x+3. On note Cf la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère orthonormé

O,−→ i ,−→

j .

Montrer que la droite d’équationx=2est un axe de symétrie de la courbeCf. Solution 2.Pour tout réelx,

f(2×2−x) =f(4−x) = (4−x)2−4(4−x) +3=x2−4x+3=f(x).

Donc, la droite d’équationx=2 est un axe de symétrie de la courbeCf.

3.3 Centre de symétrie

Soitfune fonction impaire, définie sur un domaine non videD deRà valeurs dansR. Dire quef est impaire équivaut à dire que pour tout réelxdeD, le pointMde coordonnées(−x, f(−x)) = (−x,−f(x))est le symétrique du pointM(x, f(x)) par rapport à l’origineO(0, 0). Donc

Théorème 6.Soitfune fonction définie sur un domaine non videDdeR, symétrique par rapport à0, à valeurs dans R.

fest impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’origineO.

(11)

b

b

−x

x f(x)

f(−x) = −f(x) Cf

O

Plus généralement,

Théorème 7.Soit Ω. Soitfune fonction définie sur un domaine non vide D deR, symétrique par rapport au réel x, à valeurs dansR.

Le graphe defest symétrique par rapport au pointΩsi et seulement si∀x∈D, f(2x−x) +f(x) =2y.

Exercice 3.Soitf : x7→ 1 ex+1. Montrer que le pointΩ

0,1

2

est centre de symétrie de la courbe représentative def notéeCf. Solution 3.Pour tout réelx,

f(2x−x) =f(−x) = 1

e−x+1 = 1 1 ex +1

= ex ex+1, et donc

f(2x−x) +f(x) = 1

ex+1+ ex

ex+1 = ex+1

ex+1 =1=2y. Donc, le pointΩ

0,1

2

est centre de symétrie de la courbeCf.

(12)

1

1 2 3

−1

−2

−3

b

4 Fonctions périodiques

Définition 4.SoitT un réel. Une partie non vide DdeRest invariante par T-translation si et seulement si

∀x∈R, (x∈D⇔x+T ∈D).

➱ Commentaire. On prendra garde au fait que la définition ci-dessus contient une équivalence (x∈D⇔x+T∈D) et pas une implication (x∈D⇒x+T∈D).

Par exemple, siD= [0,+∞[, alors six∈D, on a effectivementx+1∈Dmais six+1∈D, on n’a pas nécessairementx∈D(par exemple, sixest le réel−1, alorsx+1∈Dmaisx /∈D). L’ensemble Dn’est donc pas invariant par1-translation.

En revanche, l’ensembleD=R\2πZest invariant par2π-translation car∀x∈R,(x∈R\2πZ⇔x+2π∈R\2πZ).

Définition 5.SoitT un réel. Soitfune fonction définie sur une partie non videDdeR, invariante parT-translation, à valeurs dansRouC.

fest T-périodiquesi et seulement si

∀x∈D, f(x+T) =f(x).

Dans ce cas, on dit queT est unepériodedef.

Définition 6.Soitfune fonction définie sur une partie non videDdeRà valeurs dansRouC.

f est périodique si et seulement si il existe un réel non nul T tel que D est invariant par T-translation et f est T-périodique.

➱ Commentaire.

⋄ On note que toute fonction, périodique ou pas, est0-périodique. Les fonctions périodiques sont les fonctions qui admettent au moins une période non nulle.

⋄ Sifest une fonction périodique, il n’y pas unicité de la période. SiTest une période non nulle def, alors2T est une autre période defcar pour toutxdeD,f(x+2T) =f(x+T) =f(x). Plus généralement, tous les nombres de la formekT,k∈Z, sont des périodes def. On s’intéressera à la structure de l’ensemble des périodes d’une fonction périodique dans un chapitre ultérieur.

⋄ Les fonctions constantes admettent tout réel pour période.

Soientfune fonction périodique puisT une période non nulle def. Supposons avoir construit le graphe defsur l’intersection d’un intervalle fermé de longueurT avec le domaineD comme[0, T]∩D par exemple. Le graphe defsur[T, 2T]∩Dest

{(x, f(x)), x∈[T, 2T]∩D}={(x, f(x−T)), x∈[T, 2T]∩D}={(x+T, f(x)), x∈[0, T]∩D}=tu({(x, f(x)), x∈[0, T]∩D}) où−→u a pour coordonnées (T, 0). Le graphe defsur [T, 2T]∩D est donc le translaté du graphe de f sur[0, T]∩D par la translation de vecteur−→u(T, 0). Plus généralement, quand on a construit le graphe de f sur l’intersection d’un intervalle fermé de longueurT avec le domaine D, on obtient le graphe complet par translations de vecteurs(kT, 0), k∈Z.

(13)

2T

T3 3 5T3

→u

2−→u

−−→u

Exercice 4.Après avoir étudié la parité et la périodicité de la fonctionf : x7→

r cosx+1

2cosx−1, déterminer le domaine de définition de la fonctionf.

Solution 4.NotonsDle domaine de définition de la fonctionf.

•Soitx∈R.x∈D⇔−x∈Dcar cos(−x) =cosx. Soit alorsx∈D. f(−x) =

s cos(−x) +1 2cos(−x) −1 =

r cosx+1

2cosx−1 =f(x).

fest paire.

•Soitx∈R.x∈D⇔x+2π∈D. Soit alorsx∈D.f(x+2π) =

s cos(x+2π) +1 2cos(x+2π) −1 =

r cosx+1

2cosx−1 =f(x).

fest2π-périodique.

• Puisque fest 2π-périodique, il suffit de déterminer l’intersection de D et d’un intervalle fermé de longueur2π comme [−π, π]par exemple. De plus,f est paire et il suffit de déterminer l’intersection deDet de[0, π].

•Soitx∈[0, π]. cosx+1>0 et donc

x∈D⇔2cosx−1 > 0⇔cosx > 1

2 ⇔x∈h 0,π

3 h. Donc,D∩[0, π] =h

0,π 3

h. Par parité,D∩[−π, π] =i

−π 3,π

3

hpuis par2π-périodicité D= [

kZ

i−π

3 +2kπ,π

3 +2kπh .

➱ Commentaire. On a étudié la parité et la périodicité avant de déterminer le domaine de définition de f. Pour écrire l’équivalence,x∈D⇔−x∈D, nous n’avions pas besoin de connaîtreD. Cette chronologie nous a permis de simplifier la recherche du domaine de définition.

(14)

5 Sens de variation d’une fonction. Inégalités

5.1 Fonctions majorées, minorées, bornées.

Définition 7.Soitfdéfinie sur une partie non videD deRà valeurs dansR.

festmajoréesurDsi et seulement si il existe un réelMtel que, pour toutxdeD,f(x)6M. Un tel réelMs’appelle alorsun majorantdefsurD.

festminoréesurDsi et seulement si il existe un réelmtel que, pour toutxdeD,f(x)>m. Un tel réelms’appelle alorsun minorantdefsurD.

festbornéesurD si et seulement sifest majorée et minorée surD.

➱ Commentaire. Dans la définition ci-dessus, il est essentiel de comprendre que le nombreM(oum) fourni estindépendant de la variable x. Quand on écrit « pour tout x réel, x 6 x+1», on n’a pas majoré la fonction x 7→ x au sens de la définition ci-dessus.

Théorème 8.Soitfune fonction définie sur une partie non videDdeRà valeurs dansR. fest bornée surDsi et seulement si|f|est majorée surD.

Démonstration

. Si|f|est majorée surD, il existe un réelMtel que, pour toutxdeD,|f(x)|6M. Mais alors, pour toutx deD,−M6f(x)6Met doncfest bornée surD.

Réciproquement, supposonsfbornée surD. Il existe deux réelsmetMtels que, pour toutxdeD,m6f(x)6M. Pourx∈D(en notant Max{|m|,|M|}le plus grand des deux nombres|m|et|M|),

−Max{|m|,|M|}6−|m|6m6f(x)6M6|M|6Max{|m|,|M|}.

On en déduit que pour toutx∈D,|f(x)|6Max{|m|,|M|}. En particulier,|f|est majorée surD.

❏ Exemple.On veut montrer que la fonction f : x 7→ 2x

x2+1 est bornée sur R. Un réflexe technique est : pour x ∈R,

|f(x)|6. . .Plus précisément, pour tout réelx, on a(|x|−1)2>0 et doncx2+1>2|x|puis|f(x)|= 2|x|

x2+1 61.

Ceci montre que la fonctionfest bornée surR. ❏

Définition 8.Soitfdéfinie sur une partie non videD deRà valeurs dansC. La fonctionf estbornéesurDsi et seulement si la fonction|f|est majorée surD.

Par exemple, pour tout réelx, 1+eix

6|1|+ eix

62. Donc, la fonctionx7→1+eix est bornée surR. Théorème 9.Soientfet gdeux fonctions définies sur une partie non vide DdeRà valeurs dansR(resp.C).

Sif etgsont bornées surD, alors pour tous réels (resp. complexes) λetµ, la fonction λf+µgest bornée surD.

Démonstration

. SoitM(resp.M) un majorant de la fonction|f|(resp.|g|) surD. Alors, pour tout réelxdeD,

|λf(x) +µg(x)|6|λ||f(x)|+|µ||g(x)|6|λ|M+|µ|M.

Donc, la fonction|λf+µg|est majorée surDou encore la fonctionλf+µgest bornée surD.

Ainsi, toute combinaison linéaire de fonctions bornées est bornée. De même, tout produit de fonctions bornées est borné : Théorème 10.Soientfet gdeux fonctions définies sur une partie non videD deRà valeurs dansR(resp.C).

Sif etgsont bornées surD, alors la fonction f×gest bornée surD.

Démonstration

. SoientM(resp.M) un majorant de la fonction|f|(resp.|g|) surD. Alors, pour tout réelxdeD,

|f(x)×g(x)|=|f(x)|×|g(x)|6M×M.

(15)

5.2 Sens de variation d’une fonction.

Définition 9.Soitfdéfinie sur une partie non videD deRà valeurs dansR. festcroissantesurDsi et seulement si∀(a, b)∈R2, (a6b⇒f(a)6f(b)).

festdécroissantesurD si et seulement si∀(a, b)∈R2, (a6b⇒f(a)>f(b)).

feststrictement croissantesurD si et seulement si∀(a, b)∈R2, (a < b⇒f(a)< f(b)).

fest strictement décroissantesurDsi et seulement si∀(a, b)∈R2, (a < b⇒f(a)> f(b)).

festmonotonesurDsi et seulement si, ou bien fest croissante surD, ou bien fest décroissante surD.

f est strictement monotone sur D si et seulement si, ou bien f est strictement croissante sur D, ou bien f est strictement décroissante surD.

➱ Commentaire. La définition d’une fonction croissante contient une implication(a6b⇒f(a)6f(b)). Cette implication ne peut pas être remplacée par une équivalence. Considérons par exemple la fonctionfdéfinie sur[0, 2]par :

∀x∈[0, 2], f(x) =

xsix∈[0, 1]

1six∈[1, 2] . La fonctionfest croissante sur[0, 2]mais n’est pas strictement croissante.

1

1 2

Les réelsa=2etb=1vérifientf(a)6f(b)(carf(a) =f(b)) maisa > b. Donc, la proposition∀(a, b)∈R2, (f(a)6f(b)⇒a6b) est fausse.

Théorème 11.Soitf une fonction définie sur une partie non videD deRà valeurs dansR. fest strictement croissante surDsi et seulement si∀(a, b)∈D2, (a < b⇔f(a)< f(b)).

fest strictement décroissante surDsi et seulement si∀(a, b)∈D2, (a < b⇔f(a)> f(b)).

fest strictement croissante surDsi et seulement si∀(a, b)∈D2, (a6b⇔f(a)6f(b)).

fest strictement décroissante surDsi et seulement si∀(a, b)∈D2, (a6b⇔f(a)>f(b)).

Démonstration .

•Supposons par exemplefstrictement croissante surD. Soientaetbdeux réels deDtels quef(a)< f(b).

Sia=b, alorsf(a) =f(b)ce qui n’est pas et sia > bcar alorsf(a)> f(b)ce qui n’est pas. Donc,a < b.

Ainsi, sifest strictement croissante surD, alors∀(a, b)∈R2, (a < b⇔f(a)< f(b)). La réciproque est claire.

•Supposons par exemplefstrictement croissante surD. Soientaetbdeux réels deDtels quef(a)6f(b).

Sia > b, alorsf(a)> f(b)ce qui n’est pas. Donc,a6b.

Inversement, supposons que∀(a, b)∈R2, (a6b⇔f(a)6f(b)). Soit(a, b)∈D2tel quea < b. Sif(a)>f(b), alorsa>bce qui n’est pas. Doncf(a)< f(b). Ainsi,fest strictement croissante surD.

❏ Théorème 12.Soitf une fonction définie sur une partie non videD deRà valeurs dansR.

Sif est strictement monotone surD alorsfest injective surD.

Sif est strictement monotone surD alorsf réalise une bijection deDsurf(D).

Démonstration

. Soientaetbdeux réels distincts deD,aétant le plus petit des deux réels. Donca < b.

Puisquefest strictement monotone surD, on a ou bienf(a)< f(b), ou bienf(a)> f(b), et dans tous les cas,f(a)6=f(b).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6=b⇒f(a)6=f(b)). Donc,fest injective.

❏ Ainsi, quand on écritex>3⇔x>ln3, l’équivalence est due à la stricte croissance de la fonction ln sur ]0,+∞[ et non pas seulement à sa croissance, et ceci malgré l’inégalité large.

(16)

Théorème 13.Soientfet gdeux fonctions définies sur une partie non videD deRà valeurs dansR. Sif etgsont croissantes surDalorsf+gest croissante surD.

Sif etgsont décroissantes surDalorsf+gest décroissante surD.

Sif est strictement croissante surD etgest croissante surD alorsf+gest strictement croissante surD.

Sif est strictement décroissante surDet gest croissante surD alorsf+gest strictement croissante surD.

Démonstration .

•Supposons par exemplefetgcroissantes surD. Soientaet bdeux réels de Dtels quea6b. Alorsf(a)6f(b)etg(a)6g(b).

En additionnant membre à membre ces inégalités, on obtientf(a) +g(a)6f(b) +g(b).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6b⇒(f+g)(a)6(f+g)(b)). Donc,f+gest croissante surD. La démarche est analogue sif etgsont décroissantes.

•Supposons par exemplefstrictement croissante surDet gcroissante surD. Soientaetbdeux réels deDtels quea < b. Alors f(a)< f(b)et g(a)6g(b). En additionnant membre à membre ces inégalités, on obtientf(a) +g(a)< f(b) +g(b).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a < b⇒(f+g)(a)<(f+g)(b)). Donc,f+gest strictement croissante surD.

❏ Par exemple, la fonction x7→x2+xest strictement croissante sur[0,+∞[ en tant que somme de fonctions strictement croissantes sur[0,+∞[ou la fonctionx7→cosx+1

x est strictement décroissante sur]0, π]en tant que somme de fonctions strictement décroissantes sur]0, π].

Théorème 14.Soientfet gdeux fonctions définies sur une partie non videD deRà valeurs dansR. Sif etgsont positives et croissantes surDalorsf×gest croissante surD.

Sif etgsont positives décroissantes surD alorsf×gest décroissante surD.

Sif etgsont strictement positives et strictement croissantes surDalorsf×gest strictement croissante surD.

Sif etgsont strictement positives et strictement décroissantes surDalorsf×gest strictement décroissante surD.

Démonstration .

•Supposons par exemplefet gcroissantes et positives surD. Soientaet bdeux réels deDtels quea6b. Alors06f(a)6f(b) et06g(a)6g(b). En multipliant membre à membre ces inégalités entre réels positifs, on obtientf(a)×g(a)6f(b)×g(b).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6b⇒(f×g)(a)6(f×g)(b)). Donc,f×gest croissante surD.

•Supposons par exemplefetgstrictement croissantes et strictement positives surD. Soientaetbdeux réels deDtels quea < b.

Alorsf(a)< f(b)etg(a)6g(b). En multipliant membre à membre ces inégalités strictes entre réels strictement positifs, on obtient f(a)×g(a)< f(b)×g(b).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a < b⇒(f×g)(a)<(f×g)(b)). Donc,f×gest strictement croissante surD.

➱ Commentaire. Il existe de nombreuses situations non envisagées par le théorème précédent dans lesquelles on peut conclure.

Par exemple,

- le produit d’une fonction strictement croissante et strictement positive et d’une fonction croissante et strictement positive est une fonction strictement croissante

- le produit de deux fonctions croissantes négatives est une fonction croissante (carfg= (−f)(−g)) ...

Il existe néanmoins des situations où l’on ne peut rien conclure. Par exemple, la fonctionf : x7→ xlnx est le produit de deux fonctions croissantes sur]0, 1]. Mais l’une des deux, la fonction x 7→x, est positive sur]0, 1] et l’autre, la fonction x 7→lnx, est négative sur]0, 1]. La dérivée defest la fonctionf : x7→lnx+1.fest strictement négative sur

0,1

e

et strictement positive sur 1

e, 1

. La fonctionfest donc strictement décroissante sur

0,1 e

et strictement croissante sur 1

e, 1

. On ne peut donc donner aucun résultat général sur un produit de fonctions croissantes.

Théorème 15.Soitfune fonction définie sur une partie non vide DdeRà valeurs dans une partieD deRet soit gune fonction définie sur D à valeurs dansR

Sif est croissante surDetgest croissante surD alorsg◦f est croissante surD.

Sif est croissante surDetgest décroissante surD alorsg◦fest décroissante surD.

Sif est décroissante surDetgest croissante surD alorsg◦fest décroissante surD.

Sif est décroissante surDetgest décroissante surD alorsg◦fest croissante surD.

Démonstration

. Soientaetbdeux réels deDtels quea6b.

(17)

•Supposonsfcroissante surDetgcroissante surD. Alorsf(a)6f(b). Puisquef(a)etf(b)sont dansD et quegest croissante surD, on en déduitg(f(a))6g(f(b)).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6b⇒(g◦f)(a)6(g◦f)(b)). Donc,g◦fest croissante surD.

• Supposonsf décroissante sur D et g décroissante sur D. Alors f(a) > f(b). Puisque f(a) et f(b) sont dans D et que gest décroissante surD, on en déduitg(f(a))6g(f(b)).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6b⇒(g◦f)(a)6(g◦f)(b)). Donc,g◦fest croissante surD.

•Supposonsfcroissante surDetgdécroissante surD. Alorsf(a)6f(b). Puisquef(a)etf(b)sont dansDet quegest décroissante surD, on en déduitg(f(a))>g(f(b)).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6b⇒(g◦f)(a)>(g◦f)(b)). Donc,g◦fest décroissante surD.

•Supposonsfdécroissante surDetgcroissante surD. Alorsf(a)>f(b). Puisquef(a)etf(b)sont dansDet quegest croissante surD, on en déduitg(f(a))>g(f(b)).

On a montré que :∀(a, b)∈D2, (a6b⇒(g◦f)(a)>(g◦f)(b)). Donc,g◦fest décroissante surD. ❏

➱ Commentaire.

⋄ On dit parfois que le sens de variation d’une composée obéit à la « règle des signes ».

⋄ On a des résultats analogues pour des fonctions strictement monotones.

Par exemple, soitfla fonctionx7→ 3x+1

x+1 =3− 2

x+1. Pourx∈] −1,+∞[, posons g(x) =x+1puis pour y∈]0,+∞[, posonsh(y) = 1

y puis pourz∈R, posonsk(z) =3−2z.

Pour toutx ∈] −1,+∞[, on a f(x) = k(h(g(x))) ou encoref = k◦h◦g. La fonctiongest croissante sur ] −1,+∞[ à valeurs dans]0,+∞[, la fonction h est décroissante sur]0,+∞[ à valeurs dansRet la fonctionk est décroissante surR. Donc, la fonctionf=k◦h◦gest croissante sur] −1,+∞[.

De manière générale, ce type de raisonnement s’applique aux fonctions où la variablexn’apparaît qu’une seule fois.

Ces fonctions s’interprètent alors comme composée de fonctions de référence, fonctions dont le sens de variation est supposé connu.

5.3 Obtention d’inégalités. Etudes de signes

5.3.1 Rappels des différentes techniques pour gérer inégalités et encadrements

Compatibilité avec l’addition.SoientA,BetCtrois réels. SiA6B, alorsA+C6B+C. Une conséquence de cette règle est la possibilité d’additionner membre à membre des inégalités.

∀(A, B, C, D)∈R4,

A6C

B6D ⇒A+B6C+D.

En effet,A6C⇒A+B6B+Cet B6D⇒B+C6C+Det finalementA+B6B+C6C+D.

Compatibilité avec la multiplication par un réel positif.SoientA,Bdeux réels etCun réel positif. SiA6B, alors A×C6B×C. Une conséquence de cette règle est la possibilité de multiplier membre à membre des inégalités entre réels positifs.

∀(A, B, C, D)∈R4,

06A6C

06B6D ⇒A×B6C×D.

Multiplication par un réel négatif. Changer de signe les deux membres de cette inégalité change le sens de cette inégalité :∀(A, B)∈R2, (A6B⇒−A>−B)(ou aussi∀(A, B)∈R2, (A6B⇒−B6−A)).

Plus généralement, multiplier les deux membres d’une inégalité par un réel négatif change le sens de cette inégalité : soient A,Bdeux réels etCun réel négatif. SiA6B, alorsA×C>B×C(ou aussiB×C6A×C).

Une conséquence importante des constations précédentes est

on ne retranche pas membre à membre des inégalités.

Dit autrement,

A6C

B6D 6⇒A−B6C−D. La bonne démarche est A6C

B6D ⇒

A6C

−D6−B ⇒A−D6C−B.

Ceci se visualise sur un dessin. Pour majorer la différencea−b, on majorea(a6c) et on minoreb(b>d).

(18)

b b b b

b a

d c

a−b

c−d Inverses et quotients.La fonctionx7→ 1

x est décroissante sur]0,+∞[ou encore

∀(A, B)∈R2, 0 < A6B⇒ 1 A> 1

B. Une conséquence est

on ne divise pas membre à membre des inégalités.

Plus précisément, pour(A, B, C, D)∈R4,

06A6B 0 < C6D ⇒ A

D 6 B

C (et non pas A C 6 B

D).

Par exemple, cherchons à encadrer 3x−1

x+4 quand x∈[2, 6].

26x66⇒

563x−1617 66x+4610 ⇒



563x−1617 1

10 6 1 x+4 61

6

⇒ 5

10 63x−1 x+4 6 17

6 . Ainsi,

pour majorer un quotient (de réels strictement positifs), on « majore le haut et on minore le bas » et pour minorer ce quotient on « minore le haut et on majore le bas ».

5.3.2 Utilisation d’une dérivée

On rappelle que si f est une fonction croissante resp. décroissante) sur D, alors pour a et b dans D, si a 6 b, alors f(a)6f(b)(resp.f(a)>f(b)).

Par exemple, la fonctionx7→x2et décroissante sur] −∞, 0]et donc, si−26x6−1, alors(−1)26x26(−2)2ou encore 16x264.

On peut aussi reconsidérer l’exemple du paragraphe précédent où on a établi que si2 6x66, 2

10 6 3x−1 x+4 6 17

6 . Cet encadrement n’est pas le meilleur possible car par exemple, il n’existe pas de réelx∈[2, 6]tel que 3x−1

x+4 = 17

6 . En effet 3x−1

x+4 = 17

6 ⇔6(3x−1) =17(x+4)⇔x=74 /∈[2, 6].

Seule l’étude des variations de la fonction f : x7→ 3x−1

x+4 peut nous fournir le meilleur encadrement. Cette étude peut être réalisée en dérivant (mais pas seulement) : pour tout réelxde[2, 6],

f(x) = 3(x+4) − (3x−1)

(x+4)2 = 13

(x+4)2 > 0.

fest donc croissante sur[2, 6]. Par suite,

26x66⇒f(2)6f(x)6f(6)⇒ 5

6 6 3x−1 x+4 6 17

10.

Un certain nombre d’inégalités ne peuvent pas être obtenues, pour le moment, autrement qu’en dérivant une fonction.

Montrons par exemple que pour toutx >−1, ln(1+x)6x. Pourx∈] −1,+∞[, on posef(x) =x−ln(1+x).fest dérivable sur] −1,+∞[et pourx >−1,

f(x) =1− 1

1+x= x 1+x.

La fonctionfest donc décroissante sur] −1, 0]et croissante sur[0,+∞[. On en déduit que pour toutx >−1,f(x)>f(0) ou encorex−ln(1+x)>0 ou enfin ln(1+x)6x.

(19)

6 Compléments sur la dérivation

6.1 Dérivée d’une composée

On admet momentanément le résultat suivant qui sera démontré ultérieurement dans le cours d’analyse.

Théorème 16.Soitfune fonction définie sur une partie non vide DdeRà valeurs dans une partieD deRet soit gune fonction définie sur D à valeurs dansR.

Pour toutx0 deD, sifest dérivable enx0et sigest dérivable enf(x0), alorsg◦fest dérivable enx0et (g◦f)(x0) =f(x0)×g(f(x0)).

Sif est dérivable surDetgest dérivable surf(D)(⊂D), alorsg◦fest dérivable surDet (g◦f) =f×(g◦f).

Ainsi, « la dérivée deg◦fest le produit des dérivées defet deg». A ce stade, on peut donner une « démonstration » brève de ce résultat dans le cas particulier oùf est injective (la démonstration n’est donc pas valable pour des fonctions aussi simples que les fonctions constantes par exemple). Pourx6=x0, on a f(x)6=f(x0)puis

g(f(x)) −g(f(x0))

x−x0 = f(x) −f(x0)

x−x0 ×g(f(x)) −g(f(x0)) f(x) −f(x0) x

x0

f(x0)×g(f(x0)). Dérivons par exemple la fonctionf : x7→cos√

x2+1

.fest dérivable surR.

Si on poseg : x7→x2+1 puish : y7→√ypuisk : z7→cosz, on a f=k◦h◦g. La dérivée defest le produit des trois dérivéesg, h et k exprimées respectivement enx,y=x2+1et z=√

x2+1. Cela donne pour toutx∈R

f(x) =2x× 1 2√

x2+1×−sinp x2+1

= −

xsin√ x2+1

√x2+1 .

6.2 Dérivation des fonctions à valeurs dans C

Les fonctions x 7→ eix et x 7→ 1

1+ix sont des exemples de fonctions définies sur une partie de R à valeurs dans C. Ci-dessous, on définit la dérivée d’une telle fonction quand cette fonction est dérivable. Pour cela, on définit d’abord les parties réelle et imaginaire d’une telle fonction.

Définition 10.Soitf une fonction définie sur une partie non videD deRà valeurs dansRouC.

Lapartie réelle(resp.partie imaginaire) def, notée Re(f)(resp. Im(f)), est la fonction définie surDpar :

∀x∈D,(Re(f))(x) =Re(f(x))(resp.(Im(f))(x) =Im(f(x)).

De même, laconjuguée(resp. le module) de f, notéf(resp.|f|), est la fonction définie surDpar :

∀x∈D,f(x) =f(x)(resp.(|f|(x) =|f(x)|.

Définition 11.Soitf une fonction définie sur une partie non videD deRà valeurs dansRouC.

La fonctionf est dérivable surD si et seulement si les fonctions Re(f)et Im(f)sont dérivables surD et dans ce cas,

∀x∈D,f(x) = (Re(f))(x) +i(Im(f))(x).

Par exemple, la fonctionx7→eix=cosx+isinxest dérivable surRet pour tout réelx, eix

= −sinx+icosx=i(cosx+isinx) =ieix.

On montrera que les formules de dérivation usuelles restent valables dans cette situation plus générale :

• (λf+µg)=λf+µg

• (fg) =fg+fg

• f

g

= fg−fg g2

• (fn) =nffn−1(n∈Z\ {0, 1})

(20)

• 1

f

= −f

f2 et plus généralement 1

fn

= − nf

fn+1 (n∈N) Par exemple, la dérivée de la fonctionx7→ 1

1+ix ne se calcule pas en déterminant d’abord les parties réelle et imaginaire de cette fonction mais se calcule directement :

1 1+ix

= − i

(1+ix)2. On admet momentanément le résultat suivant :

Théorème 17.Soitϕ une fonction définie et dérivable sur une partie non videD deRà valeurs dansC. La fonctioneϕest dérivable surDet (eϕ)eϕ.

Par exemple, la dérivée de la fonctionx7→eix2 est la fonctionx7→2ixeix2.

6.3 Compléments sur la réciproque d’une bijection

6.3.1 Rappels.

On rappelle que sif est une application d’un ensembleEvers un ensembleF, fest bijective⇔∀y∈F, ∃!x∈E/ y=f(x).

Dans ce cas, on peut définir la réciproquef−1def. Elle est entièrement caractérisée par

∀(x, y)∈E×F, y=f(x)⇔x=f−1(y).

La réciproque defest également entièrement caractérisée par les égalités f−1◦f=IdEetf◦f−1=IdF, ce qui s’écrit encore

∀x∈E, (f−1(f(x)) =xet∀y∈F, f(f−1(y)) =y.

6.3.2 Cas particulier des applications de Rdans R

• y=x

y=f(x) y=f

1 (x)

b

b

x f(x)

x=f(x) f−1(x) =x

Ci-contre, nous avons tracé le graphe d’une fonction f, réalisant une bi- jection d’un intervalleIsur un intervalleJ, et le graphe de sa réciproque.

Le graphe def−1est l’ensemble des points de coordonnées(x, f−1(x))où xdécrit l’intervalleJ(l’intervalleJest donc pensé sur l’axe des abscisses).

On posex=f−1(x)ou, ce qui revient au même,x=f(x),xétant lui un réel de l’intervalle I. On passe du point(x, f(x)) = (f−1(x), x)au point (x, f−1(x)) en échangeant les deux coordonnées. Géométriquement, les deux points (x, f(x))et (x, f−1(x))sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite d’équation y=x. Ainsi,

le graphe def−1est le symétrique du graphe def par rapport à la droite d’équationy=x.

La majeure partie des résultats suivants sont momentanément admis et seront démontrés ultérieurement dans le cours d’analyse.

Théorème 18.Soitf une application définie sur un intervalleIdeRà valeurs dansR.

Sifest continue et strictement monotone surI,fréalise une bijection deIsurJ=f(I)qui est un intervalle de même nature queI(ouvert, semi-ouvert, fermé).

Dans ce cas,f−1est continue et strictement monotone surJet a même sens de variation surJquefsurI.

(21)

Démonstration

. On démontre uniquement le fait quef−1a « même sens de variation » quef. On suppose par exemplef strictement croissante surD.

Soit(a, b)∈J2 tel quea < b. Posonsc=f−1(a)etd=f−1(b)de sorte quecet dsont dansI eta=f(c)et b=f(d). On a alors f(c)< f(d). Puisquefest strictement croissante surI, le théorème 11 permet d’affirmer quec < dou encoref−1(a)< f−1(b).

Ceci montre quef−1est strictement croissante surD.

❏ Théorème 19.Soitfune application définie sur un intervalleIdeRà valeurs dansRet dérivable surI. Si la dérivée defest strictement positive surI(ou strictement négative surI), alorsfréalise une bijection deIsurf(I) =Jqui est un intervalle de même nature queI(ouvert, semi-ouvert, fermé). Sa réciproque f−1est alors dérivable surJet,

(f−1) = 1 f◦f−1, ou, ce qui revient au même,

∀x∈J, (f−1)(x) = 1 f(f−1(x)).

Exemple.La fonction f : x7→x2 est dérivable surI=]0,+∞[, à dérivée strictement positive surI. Donc,f réalise une bijection deIsurJ=f(I) =]0,+∞[. Sa réciproquef−1 : x7→√xest dérivable surJ=]0,+∞[et pour toutx > 0

f−1

(x) = 1

f(f−1(x)) = 1

2f−1(x) = 1 2√

x.

❏ Interprétons géométriquement l’égalité (f−1)(x) = 1

f(f−1(x)) : par symétrie, le coefficient directeur de la tangente au graphe def−1au point(x, f−1(x))est l’inverse du coefficient directeur de la tangente au graphe def au point(x, f(x)).

• y=x

y=f(x) y=f

1 (x)

b

b

x f(x)

x=f(x) f−1(x) =x

Ceci peut se comprendre à partir des coefficients directeurs de deux droites symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

SoientM(a, b)etN(c, d)deux points distincts. Leurs symétriques par rapport à la droite d’équationy=xsont les points M(b, a)etN(d, c). Le coefficient directeur de la droite(MN)est

yN−yM

xN−xM

= c−a d−b =

d−b c−a

−1

=

yN−yM

xN−xM −1

.

Ainsi, le coefficient directeur de la droite(MN)est l’inverse du coefficient directeur de la droite(MN). Il ne reste plus qu’à passer à la limite quand le pointN tend vers le point M, Met N étant deux points de Cf et M et N étant les points correspondants deCf1. . .

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