Soit f : R → R l’application définie par

Texte intégral

(1)

Nom : . . . .

Prénom : . . . . M11 - CC1 - 23 octobre 2012 - 8h30 :10h00

Calculatrices et documents interdits.

Exercice 1 (2 pts)

Soit f : R → R l’application définie par

f (x) =

( x

2

+4x +5 si x ≤ −1,

x − 2 si x > − 1, et représentée ci-contre. Soit A = [−4, 1]. Trouver

1. f (A), 2. f

1

¡

f (A) ¢ .

Il n’est pas nécessaire de justifier la réponse.

C

ORRECTION

.

1. f (A) = [ − 3; − 1[ ∪ [1; 5], 2. f

1

¡

f (A) ¢

= [ − 4; − 1] ∪ ] − 1; 1] = A.

− 4 − 2 − 1 1

− 3

−2

− 1 1 2 5

x y

Exercice 2 Chaque connexion correcte vaut 1 pts, chaque connexion fausse enlève 1/2 pts.

Attention : dans cet exercice la note est comprise entre − 2 pts et 4 pts.

Soit E et F deux ensembles et f : EF une application. Relier les phrases équivalentes :

1. f est injective 2. f est surjective

a. tout élément x de E n’a qu’une image par f

b. pour tous x et y de E , la relation f (x) = f (y) implique x = y c. tout élément y de F a exactement un antécédent par f d. tout élément y de F a au moins un antécédent par f

e. tout élément y de F a au plus un antécédent par f f . ∀x, yE , x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y)

C

ORRECTION

.

a. Cette assertion exprime que f est une application b. I

c . Cette assertion pourrait compléter la définition d’une application bijective d. S

e . I f . I

Exercice 3 (4 pts)

Démontrer par récurrence la proposition

n ∈ N

X

n i=1

(2i ) = n (n + 1).

C

ORRECTION

. On considère une propriété P

n

qui dépend d’un entier naturel n et on souhaite démontrer par récurrence qu’elle est vraie à partir d’un certain rang. Pour cela il faut

1. montrer que la propriété P

n

est vraie pour un entier particulier n

0

(par exemple 0 ou 1) ;

2. montrer que si elle est vraie pour un certain n, cela implique qu’elle est vraie pour son successeur n + 1.

Dans notre cas :

1. Pour n = 1 la somme se réduit à P

1

i=1

(2i ) = 2 × 1 = 2 et est égale à n(n + 1) = 1 × (1 + 1) = 2.

2. On suppose maintenant que le résultat est vrai pour un certainn , c’est-à-dire que P

n

i=1

(2i ) = n(n + 1). Alors P

n+1 i=1

(2i ) = P

n

i=1

(2i ) + 2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2). Le résultat est donc vrai pour l’entier n + 1.

1

(2)

M11 - CC1 - 23 octobre 2012 - 8h30 :10h00 Nom : . . . . Prénom : . . . .

Exercice 4 (4 pts)

Soit f : R → R l’application définie par f (x) = ln ¡

| x | +

1e

¢ . 1. f est-elle injective ?

2. f est-elle surjective ?

3. Montrer que la restriction g : [0,+∞[→ [−1, +∞[ avec g(x) = f (x) est une bijection et calculer la fonction réci- proque h.

Attention : vous pouvez vous aider en traçant le graphe de f et en considérant les intersections de ce graphe avec des droites horizontales, mais cela ne constitue pas une preuve !

C

ORRECTION

.

1. f n’est pas injective car f (x) = f (−x) pour tout x ∈ R (la fonction est paire) 2. f n’est pas surjective car tout y < −1 n’a pas d’antécédents

3. Soit y ∈ [−1, +∞[, alors les solutions possibles de g(x) = y sont x = ±(e

y

− 1/e). Or, seul x = e

y

− 1/e ∈ [0,+∞[ donc pour g : [0,+∞[→ [−1,+∞[ on a trouvé une inverse h : [−1, +∞[→ [0, +∞[ définie par h(y) = e

y

− 1/e , donc g est une bijection.

Exercice 5 (3 pts)

Donner l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

f : R → R, g : R → R, h : R → R,

x 7→

11x

x 7→ p

x x 7→ x

2

Donner l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes et écrire explicitement l’expression de la compo- sition : fg, gf , fgh.

C

ORRECTION

. D

f

= R \ { 1 }, D

g

= R

+

, D

h

= R.

D

f

g

= R

+

\ { 1 } et f (g (x)) =

11px

, D

g

f

= { x ∈ R | x < 1 } et g (f (x)) = q

1

1−x

, D

f

gh

= R \ {±1 } et f (g (h(x))) =

1−|1x|

.

Exercice 6 (3 pts)

Dans la figure ci-dessous on a représenté la fonction f : R → R définie par

f (x) =

( sin(x) si x ∈ [ − π ; π ],

0 sinon.

Tracer dans la même figure le graphe de la fonction g : R → R définie par g (x) = 1 +2 f ¡ 2x +

π2

¢

.

32π

54π

π

34π

π2

π4 π4 π2 34π

π

5π 4

3π 2

−2

− 1 0 1 2 3

x y

Suggestion : utiliser les transformations élémentaires f

1

(x) = f (2x), f

2

(x) = f

1

¡ x +

π4

¢

= f ¡ 2x +

π2

¢

, f

3

(x) = 2 f

2

(x) = 2 f ¡

2x +

π2

¢

et g (x) = 1 + f

3

(x ) = 1 + 2 f ¡ 2x +

π2

¢

.

2

(3)

Nom : . . . .

Prénom : . . . . M11 - CC1 - 23 octobre 2012 - 8h30 :10h00

C

ORRECTION

.

f (x)

f

1

(x) = f (2x)

f

2

(x) = f

1

(x +

π4

) = f (2x +

π2

) f

3

(x) = 2 f

2

(x) = 2 f (2x +

π2

) g(x ) = 1 + f

3

(x) = 1 + 2f (2x +

π2

)

32π

54π

π

34π

π2

π4 π4 π2 34π

π

5π 4

3π 2

− 2

−1 0 1 2 3

x y

Exercice 7 (4 pts)

Soient E un ensemble et F et G deux parties de E. On note C

E

(F ) = E \ F le complémentaire de F par rapport à E.

1. Montrer que

C

E

(F ∪ G) = ¡ C

E

F ¢

∩ ¡ C

E

G ¢

.

2. Soit I un ensemble et {A}

iI

une partie de P (E ). On suppose que la propriété suivante est vraie : C

E

³ [

iI

A

i

´

= \

iI

C

E

A

i

.

Considérons l’intervalle A

m

=

¸ 2 − m m ; m + 3

m +2

·

pour m ∈ M = {n ∈ N | n ≥ 3 }. Expliciter (sans justifier) les en- sembles

S

m∈M

A

m

, C

R

µ S

m∈M

A

m

, C

R

(A

m

), T

m∈M

C

R

(A

m

).

C

ORRECTION

.

1. xC

E

(F ∪G) ⇐⇒ x 6∈ (F ∪G) ⇐⇒ x 6∈ F ET x 6∈ G ⇐⇒ xC

E

(F ) ET xC

E

(G) ⇐⇒ x ∈ ¡ C

E

F ¢

∩ ¡ C

E

G ¢ 2. Notons que 2 − m

m → −1

+

et que m + 3 m + 2 → 1

+

:

−1 1/3 1 6/5 3/2

A3

−1 −1/2 1 7/6 3/2

A4

1 3/5 1 8/7 3/2

A5

−1 −2/3 1 9/8 3/2

A6

On peut alors conclure que

[

m∈M

A

m

=

¸

− 1; 6 5

·

C

R

µ

[

m∈M

A

m

= ] −∞ ; − 1] ∪

· 6 5 ; +∞

·

C

R

(A

m

) =

¸

−∞; 2 − m m

¸

· m +3 m − 2 ; +∞

·

\

m∈M

C

R

(A

m

) = ]−∞;−1] ∪

· 6 5 ; +∞

·

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

L’exercice suivant est hors barème et peut apporter jusqu’à 5 pts supplémentaires.

3

(4)

Figure

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