Nom : . . . .
Prénom : . . . . M11 - CC1 - 23 octobre 2012 - 8h30 :10h00
Calculatrices et documents interdits.
Exercice 1 (2 pts)
Soit f : R → R l’application définie par
f (x) =
( x
2+4x +5 si x ≤ −1,
− x − 2 si x > − 1, et représentée ci-contre. Soit A = [−4, 1]. Trouver
1. f (A), 2. f
−1¡
f (A) ¢ .
Il n’est pas nécessaire de justifier la réponse.
C
ORRECTION.
1. f (A) = [ − 3; − 1[ ∪ [1; 5], 2. f
−1¡
f (A) ¢
= [ − 4; − 1] ∪ ] − 1; 1] = A.
− 4 − 2 − 1 1
− 3
−2
− 1 1 2 5
x y
Exercice 2 Chaque connexion correcte vaut 1 pts, chaque connexion fausse enlève 1/2 pts.
Attention : dans cet exercice la note est comprise entre − 2 pts et 4 pts.
Soit E et F deux ensembles et f : E → F une application. Relier les phrases équivalentes :
1. f est injective 2. f est surjective
a. tout élément x de E n’a qu’une image par f
b. pour tous x et y de E , la relation f (x) = f (y) implique x = y c. tout élément y de F a exactement un antécédent par f d. tout élément y de F a au moins un antécédent par f
e. tout élément y de F a au plus un antécédent par f f . ∀x, y ∈ E , x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y)
C
ORRECTION.
a. Cette assertion exprime que f est une application b. I
c . Cette assertion pourrait compléter la définition d’une application bijective d. S
e . I f . I
Exercice 3 (4 pts)
Démontrer par récurrence la proposition
∀ n ∈ N
∗X
n i=1(2i ) = n (n + 1).
C
ORRECTION. On considère une propriété P
nqui dépend d’un entier naturel n et on souhaite démontrer par récurrence qu’elle est vraie à partir d’un certain rang. Pour cela il faut
1. montrer que la propriété P
nest vraie pour un entier particulier n
0(par exemple 0 ou 1) ;
2. montrer que si elle est vraie pour un certain n, cela implique qu’elle est vraie pour son successeur n + 1.
Dans notre cas :
1. Pour n = 1 la somme se réduit à P
1i=1
(2i ) = 2 × 1 = 2 et est égale à n(n + 1) = 1 × (1 + 1) = 2.
2. On suppose maintenant que le résultat est vrai pour un certainn , c’est-à-dire que P
ni=1
(2i ) = n(n + 1). Alors P
n+1 i=1(2i ) = P
ni=1
(2i ) + 2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2). Le résultat est donc vrai pour l’entier n + 1.
1
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Exercice 4 (4 pts)
Soit f : R → R l’application définie par f (x) = ln ¡
| x | +
1e¢ . 1. f est-elle injective ?
2. f est-elle surjective ?
3. Montrer que la restriction g : [0,+∞[→ [−1, +∞[ avec g(x) = f (x) est une bijection et calculer la fonction réci- proque h.
Attention : vous pouvez vous aider en traçant le graphe de f et en considérant les intersections de ce graphe avec des droites horizontales, mais cela ne constitue pas une preuve !
C
ORRECTION.
1. f n’est pas injective car f (x) = f (−x) pour tout x ∈ R (la fonction est paire) 2. f n’est pas surjective car tout y < −1 n’a pas d’antécédents
3. Soit y ∈ [−1, +∞[, alors les solutions possibles de g(x) = y sont x = ±(e
y− 1/e). Or, seul x = e
y− 1/e ∈ [0,+∞[ donc pour g : [0,+∞[→ [−1,+∞[ on a trouvé une inverse h : [−1, +∞[→ [0, +∞[ définie par h(y) = e
y− 1/e , donc g est une bijection.
Exercice 5 (3 pts)
Donner l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
f : R → R, g : R → R, h : R → R,
x 7→
1−1xx 7→ p
x x 7→ x
2Donner l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes et écrire explicitement l’expression de la compo- sition : f ◦ g, g ◦ f , f ◦ g ◦ h.
C
ORRECTION. D
f= R \ { 1 }, D
g= R
+, D
h= R.
D
f◦g
= R
+\ { 1 } et f (g (x)) =
1−1px, D
g◦f
= { x ∈ R | x < 1 } et g (f (x)) = q
11−x
, D
f◦g◦h
= R \ {±1 } et f (g (h(x))) =
1−|1x|.
Exercice 6 (3 pts)
Dans la figure ci-dessous on a représenté la fonction f : R → R définie par
f (x) =
( sin(x) si x ∈ [ − π ; π ],
0 sinon.
Tracer dans la même figure le graphe de la fonction g : R → R définie par g (x) = 1 +2 f ¡ 2x +
π2¢
.
−
32π−
54π− π
−
34π−
π2−
π4 π4 π2 34ππ
5π 43π 2
−2
− 1 0 1 2 3
x y
Suggestion : utiliser les transformations élémentaires f
1(x) = f (2x), f
2(x) = f
1¡ x +
π4¢
= f ¡ 2x +
π2¢
, f
3(x) = 2 f
2(x) = 2 f ¡
2x +
π2¢
et g (x) = 1 + f
3(x ) = 1 + 2 f ¡ 2x +
π2¢
.
2
Nom : . . . .
Prénom : . . . . M11 - CC1 - 23 octobre 2012 - 8h30 :10h00
C
ORRECTION.
f (x)
f
1(x) = f (2x)
f
2(x) = f
1(x +
π4) = f (2x +
π2) f
3(x) = 2 f
2(x) = 2 f (2x +
π2) g(x ) = 1 + f
3(x) = 1 + 2f (2x +
π2)
−
32π−
54π− π
−
34π−
π2−
π4 π4 π2 34ππ
5π 43π 2
− 2
−1 0 1 2 3
x y
Exercice 7 (4 pts)
Soient E un ensemble et F et G deux parties de E. On note C
E(F ) = E \ F le complémentaire de F par rapport à E.
1. Montrer que
C
E(F ∪ G) = ¡ C
EF ¢
∩ ¡ C
EG ¢
.
2. Soit I un ensemble et {A}
i∈Iune partie de P (E ). On suppose que la propriété suivante est vraie : C
E³ [
i∈I
A
i´
= \
i∈I
C
EA
i.
Considérons l’intervalle A
m=
¸ 2 − m m ; m + 3
m +2
·
pour m ∈ M = {n ∈ N | n ≥ 3 }. Expliciter (sans justifier) les en- sembles
S
m∈M
A
m, C
Rµ S
m∈M
A
m¶
, C
R(A
m), T
m∈M
C
R(A
m).
C
ORRECTION.
1. x ∈ C
E(F ∪G) ⇐⇒ x 6∈ (F ∪G) ⇐⇒ x 6∈ F ET x 6∈ G ⇐⇒ x ∈ C
E(F ) ET x ∈ C
E(G) ⇐⇒ x ∈ ¡ C
EF ¢
∩ ¡ C
EG ¢ 2. Notons que 2 − m
m → −1
+et que m + 3 m + 2 → 1
+:
−1 −1/3 1 6/5 3/2
A3
−1 −1/2 1 7/6 3/2
A4
−1 −3/5 1 8/7 3/2
A5
−1 −2/3 1 9/8 3/2
A6
On peut alors conclure que
[
m∈M
A
m=
¸
− 1; 6 5
·
C
Rµ
[
m∈M
A
m¶
= ] −∞ ; − 1] ∪
· 6 5 ; +∞
·
C
R(A
m) =
¸
−∞; 2 − m m
¸
∪
· m +3 m − 2 ; +∞
·
\
m∈M