1/2 - Chap.
Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.
On considère la suite définie par /se{u_0=1;u_{n+1}=u_n+2n-1}
1. Calculer les trois premiers termes de la suite.
…...
...
...…
2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u0 à u11 …...
...
...
...
...
...
....…
3. Représenter graphiquement page suivante l'ensemble des points (n; un) pour n [0;11]
∈ :
4. Conjecturer l’expression de un en fonction de n. Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de n
(par exemple : n = 100, n=
557 …)
...…
...…
...…
...…
...…
...…
...…
...…
5. On définit, pour tout entier n, la propriété P au rang n par : un=(n – 1)2.
a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?
…...
…...
b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que : 1/2
2/2 - Chap.
« si P est vraie au rang n, alors P est aussi vraie au rang n+1» (on dit que P est héréditaire) :
…...
…...
...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
c. Démontrer que P est vraie au rang 0.
…...
…...
…...
…...
d. On sait maintenant que P est vraie au rang 0, et que, si P est vraie au rang n, alors P est aussi vraie au rang n+1.
i. Que peut-on en déduire pour la propriété P au rang 1, et pourquoi ?
…...
…...
…...
…...…
ii. Que peut-on en déduire pour la propriété P au rang 2, et pourquoi ?
…...
…...
…...
…...…
iii. De façon plus générale, que peut-on en déduire pour la propriété P au rang n, et que quelles sont les deux arguments que l’on doit mentionner pour le justifier?
…...
…...
…...
…...…
2/2
