Pour tout entier naturel n, on définit la fonction f

Pour tout entier naturel n, on définit la fonction f

_n

par :

0 ; 2 :

1 sin

n

n

f

x x

x π

⎧ ⎤ ⎤

⎪ ⎥ ⎥

⎪ ⎦ ⎦

⎨⎪

⎪⎩

→

−

\ 6

1. Montrer que l’équation ^{f x}

ⁿ

( ) ^{= 0} admet une unique solution sur l’intervalle

1; 2 π

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

. On note a

_n

cette solution.

En déduire le signe de f

_n

sur cet intervalle.

2. Montrer que la suite ( ) a

n

est décroissante.

(on pourra s’intéresser à f

n₊1

( ) a

n

)

3. Montrer que la suite ( ) a

n

converge et calculer sa limite.

Analyse

Un exercice assez classique mêlant fonctions et suites.

La question 1 permet de « construire » la suite tandis que la question 2 (plus délicate) permet d’obtenir un élément-clé nous permettant de conclure à la convergence de la suite.

Résolution

Question 1.

Soit n un entier naturel non nul.

La fonction f_n est continue sur 0 ; 2

⎤ π⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ comme somme de deux fonctions ( 1 x n

6 x et sin

x6− x) continue sur cet intervalle.

La fonction 1 x n

6 x est strictement décroissante sur \^∗₊ et donc sur 1 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. La fonction sinus est strictement croissante sur 0 ;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et donc sur 1 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. De fait, la fonction sin

x6− x est strictement décroissante sur 1 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Finalement, la fonction f_n est strictement décroissante sur 1 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦.

On a enfin :

( )

^{1 1} sin1 1 sin1 0

n 1n

f = − = − > (car 0 1

2

< <π et donc 0<sin1 1< ). Par ailleurs :

1 2

sin 1

2 2

2

n

n

fn π π

π π

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞=⎜ ⎟ − =⎛ ⎞ −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

. Comme 2

0 1

<π < , il vient, n étant un entier naturel non

nul, 2

0 1

n

π

<⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ < et donc 2

1 0

n

⎛ ⎞ − <π

⎜ ⎟⎝ ⎠ .

Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure que l’équation fn

( )

x =⁰ admet une solution unique a_n sur l’intervalle 1 ;

2

⎤ π⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣.

Pour n=0, on a f0

( )

x = −1 sinx et l’équation f0

( )

x =0 équivaut à sinx=1 dont l’unique solution sur l’intervalle 1 ;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ est ₀ a ₌π2

.

Pour tout entier naturel n, l’équation fn

( )

x =⁰ admet une unique solution sur l’intervalle 1 ;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦.

La fonction f₀ est la fonction définie sur l’intervalle 0 ; 2

⎤ π⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦ par f0

( )

x = −1 sinx. Pour tout réel x de l’intervalle 1 ;

2

⎡ π⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣, on a sinx<1 et donc f0

( )

x <0. Par ailleurs : ₀ 0

f _{⎛ ⎞ =}π2

⎜ ⎟⎝ ⎠

Pour tout entier naturel n non nul, la fonction f_n est strictement décroissante sur l’intervalle 1 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et s’annule en une unique valeur 1 ;

n 2

a _⎤ π _⎡

∈ ⎥⎦ ⎢⎣.

Il vient donc :

• Pour tout réel x dans

[

^{1 ;}an

[

, fn

( )

x >⁰.

• fn

( )

an =⁰.

• Pour tout réel x dans ;

n 2 a π

⎤ ⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦, fn

( )

x <⁰.

• Pour tout réel x dans 1 ; 2

⎡ π⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣, f0

( )

x <0.

• ₀ 0

f _{⎛ ⎞ =}π2

⎜ ⎟⎝ ⎠ .

Pour tout entier naturel n non nul :

• Pour tout réel x dans

[

^{1 ;}an

[

, fn

( )

x >⁰.

• fn

( )

an =⁰.

• Pour tout réel x dans ;

n 2 a π

⎤ ⎤

⎥ ⎥

⎦ ⎦, fn

( )

x <⁰.

Question 2.

Comme l’énoncé le suggère, calculons fn₊1

( )

an . On a :

( )

( )

1 1 1 1

( )

1

0

1 1 1 1 1 1 1 1

sin sin

n n

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n

f a

f a a a f a

a a a a a a a a

+ + + + +

=

=

= − = − + − = − + = −

On a 1 ;

n 2

a ⎤ π⎤

∈ ⎥⎦ ⎥⎦ et donc a_n>1 d’où : a_nⁿ⁺¹>a_nⁿ et, enfin : 1₁ 1

n n 0

n n

a ⁺ −a < . Ainsi, la suite

( )

an est strictement décroissante.

La suite

( )

an est strictement décroissante.

Question 3.

La suite

( )

an est strictement décroissante (la seule décroissance suffit) et minorée par 1. Elle est donc convergente.

La suite

( )

an est convergente.

Notons L la limite de la suite

( )

an .

On a , 1

n 2

n a π

∀ ∈` ≤ ≤ et donc (comparaison) : 1

L π2

≤ ≤ .

Supposons L>1. On a alors : 1

lim _n 0

n^→+∞an = et lim sin _n sin

n a L

→+∞ =

On a : 1

, _n sin _n 0

n

n a

∀ ∈` a − = . On en déduit alors 1

lim _n sin _n 0

n n

a a

→+∞

⎛ ⎞

− =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ . Or, d’après ce qui précède : 1

lim _n sin _n sin 0

n n

a L

→+∞ a

⎛ − ⎞= − ≠

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , ce qui est absurde.

Finalement : lim _n 1

n a

→+∞ = .

lim _n 1

n a

→+∞ =

Complément

A titre de complément, nous fournissons ci-après quelques-unes des courbes représentatives des fonctions 1

x n

6 x (pour n=0, 1, 2, 3 et 20) ainsi que celle de la fonction sinus. Dans cet exercice, on s’est en fait intéressé à la suite des abscisses (a_n) des points d’intersections ( A_n) de ces courbes avec celle de la fonction sinus. On a ainsi fait apparaître certains de ces points d’intersection et les abscisses correspondantes.

Remarque : pour une meilleure lisibilité, nous avons positionné l’intersection des axes au point de coordonnées

(

^{0,8 ; 0, 6}

)

^.