Exercice 2 : Soit u une suite d´efinie pour tout entier n par un+1 = 3un−1 et u0 = 3

TS6 Interrogation 1A 11 septembre 2018 R´epondre aux questions sans d´emonstration.

Calculatrice interdite.

Exercice 1 :

Soit u une suite arithm´etique de raison 3 et de premier terme u0 = 5.

(1) Exprimerun en fonction den

Solution: u_n= 5 + 3n

(2) Calculer

10

X

i=0

ui

Solution:

n

X

i=0

u_i = 7 + 35

2 ×(11) = 21×11 = 231

Exercice 2 :

Soit u une suite d´efinie pour tout entier n par un+1 = 3un−1 et u0 = 3.

On d´efinit la suite v parv_n=u_n− ¹₂ (1) Calculeru1;

(2) Montrer quevest une suite g´eom´etrique de rai- son 3 et pr´eciser le premier terme.

(3) En d´eduirevnen fonction denpuisunen fonc- tion den.

(4) Exprimer en fonction den:

n

X

i=0

vi, puis :

n

X

i=0

ui

Solution:

(1) u₁ = 3×3−1 = 8 ;

(2) vn+1=un+1−¹₂ = 3un−1−¹₂ = 3(un−¹₂) = 3v_n. (v_n) est une suite g´eom´etrique de rai- son 3 et de premier termev₀ =u₀+¹₂ = 7

2; (3) On a doncv_n= 7

2×3ⁿ. De plusu_n=v_n+¹₂, doncun= 7

2×3ⁿ+¹₂; (4) a. Selon le cours

n

X

i=0

v_i= 7

2 ×3ⁿ−1 2 . b. Donc

n

X

i=0

u_i =

n

X

i=0

v_i +

n

X

i=0

1 2 = 7

2 × 3ⁿ−1

2 +1

2(n+ 1) Exercice 3 :

Soit u une suite d´efinie pour tout entier n par un+1= 5un−1 et u0 = 2.

D´emontrer par r´ecurrence queu_n= ⁷₄ ×5ⁿ+¹₄ Solution: Pour tout entier n : P(n) : un =

7

4 ×5ⁿ+¹₄.

Initialisation : u₀= 2 et ⁷₄ ×5⁰+¹₄ = ⁸₄ = 2.

DoncP(0) est vraie.

H´er´edit´e : Soit n un entier tel que P(n) est vraie. Montrons queP(n+ 1) est vraie.

P(n+ 1) s’´ecrit : un+1 = ⁷₄ ×5ⁿ⁺¹+ ¹₄ . u_n+1= 5u_n−1 = 5(⁷₄×5ⁿ+¹₄)−1 = ⁷₄×5ⁿ⁺¹+

5

4 −1 = ⁷₄ ×5ⁿ⁺¹+¹₄. P(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e doncP(n) est vraie pour tout entier natureln.