On d´efinit la suite (un) par u0 =aet, pour tout entier natureln :un+1=f(un)

TS6 Interrogation 12A 11 f´evrier 2019 Calculatrice interdite.

Exercice 1 :

On consid`ere la fonction f d´efinie surR par :f(x) = 1

2x²−x+³₂.

Soit aun r´eel positif. On d´efinit la suite (u_n) par u₀ =aet, pour tout entier natureln :u_n+1=f(u_n).

Le but de cet exercice est d’´etudier le comportement de la suite (u_n) lorsque n tend vers +∞, suivant diff´erentes valeurs de son premier terme u0 =a.

1. On suppose que (u_n) converge vers un r´eel `. Montrer que les valeurs possibles de ` sont 1 et 3.

Solution: On a lim

n→+∞un=` donc par op´erations sur les limites lim

n→+∞

1

2u²_n−un+³₂

= ¹₂`²−

`+³₂.

De plus lim

n→+∞u_n+1=`.

Par unicit´e de la limite, on a`= 1

2`<sup>2</sup>−`+³₂`.

C’est-`a-dire 0 = 1

2`<sup>2</sup>−2`+³₂`⇔ <sup>1</sup><sub>2</sub>(`−1)(`−3) = 0.

Les valeurs possibles de `sont donc 1 et 3.

2. Dans cette question, on prend a= 2.

(a) Montrer quef est croissante sur l’intervalle [1 ; +∞[.

(b) Montrer par r´ecurrence que, pour tout n∈N, on a : 16un+1 6un. (c) Montrer que (un) converge et d´eterminer sa limite.

Solution:

(a) On prend a= 2.f est d´erivable sur Ret sur cet intervalle :

f⁰(x) =x−1 ; doncf⁰(x)>0 pourx>1 : la fonctionf est croissante sur [1 ; +∞[.

(b) Initialisation :u₀= 2 etu₁= ¹₂ ×2²−2 +³₂ = ³₂. On a bien 16u₁6u₀.

H´er´edit´e : supposons que pourn∈N, on ait : 16u_n+1 6u_n :

puisque la fonction f est croissante sur [1 ; +∞[, les images par f des trois termes de cet encadrement sont rang´ees dans le mˆeme ordre :

f(1)6f(un+1)6f(un).

Soit avec f(1) = 1

2−1 +3

2 = 1 : 16un+2 6un+1 : l’encadrement est vrai au rang n+ 1.

On a montr´e que l’encadrement est vrai au rang 0 et que s’il est vrai au rangn, il l’est aussi au rangn+ 1.

D’apr`es le principe de r´ecurrence on a donc d´emontr´e que : pour tout entier naturel n, on a : 16u_n+16u_n.

(c) D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent la suite (u<sub>n</sub>) d´ecroit et est minor´ee par 1 : elle est donc, d’apr`es le th´eor`eme de la convergence monotone, convergente vers un nombre`>1.

De plus a= 2 est le premier terme de la suite qui est d´ecroissante, donc` <2.

Les deux seules valeurs possibles pour la limite sont 1 et 3 (question 2.b.) ; ¸ca ne peut pas ˆ

etre 3 donc `= 1.

3. Dans cette question, on prend a= 3,5 et on admet que (u_n) est croissante.

(a) Avec les questions pr´ec´edentes montrer que (u_n) n’est pas major´ee.

(b) En d´eduire le comportement de la suite (u_n) lorsque n tend vers +∞.

classe Interrogation 1A Page 2 de 2 Solution:

1. Si la suite est major´ee, comme elle est croissante, elle est convergente (th´eor`eme de la convergence monotone).

On a vu que si la suite converge ce ne peut ˆetre que vers 1 ou 3, ce qui n’est pas possible puisque le premier terme est u₀ = 3,1 > 3 et que la suite est croissante : cette suite n’est donc pas major´ee.

2. Par cons´equent on a lim

n→+∞un= +∞.