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(1)TS 8 Interrogation 2A : Correction 19 septembre 2017 Exercice 1 : On d´efinit la suite (un) par u0 = 1 et pour tout entier naturel n &gt

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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TS 8 Interrogation 2A : Correction 19 septembre 2017 Exercice 1 :

On d´efinit la suite (un) par u0 = 1 et pour tout entier naturel n > 0 par

un+1=un+ 2n+ 3.

Montrer que pour tout entier natureln,un>n2.

Solution: Pour tout entier naturel n, on appelle P(n) la pro- pri´et´e :un>n2.

Initialisation : u0= 1>0P(0) est vraie.

H´er´edit´e : Soit nun entier naturel tel queP(n) est vraie. Mon- trons queP(n+ 1) est vraie.

P(n+ 1) s’´ecrit :un+1>(n+ 1)2. Or

un+1=un+ 2n+ 3 .

Par hypoth`ese de r´ecurrenceun>n2 Doncun+ 2n+ 3>n2+ 2n+ 3

Orn2+ 2n+ 3 = (n+ 1)2+ 2>(n+ 1)2Doncun+16(n+ 1)2 DoncP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e, doncP(n) est vraie pour tout entier natureln.

En d´eduire la limite deu.

Solution: Pour tout entier naturel n, un < n2, par le th´eor`eme de comparaison, lim

n+un= +∞.

Exercice 2 :

D´eterminer la limite des suites suivantes : 1. un= 2n2−3

n2−5n+ 3

Solution: Pour tout n 6= 0, un = n2 2−3n

n2 1−5n+n32

=

2−3n

1−5n+n32

.

lim 2− 3n = 2 et lim

n+ 1−n5+n32

= 1. Donc par quotient

n→+∞lim = 2.

2. wn=cos(n) n .

Solution: Pour tout entier n, −1 6 cos(n) 6 1, donc −n1 6 cos(n)

n 6n1.

nlim+

−1 n

= lim

n+

1 n

= 0. Par le th´eor`eme des gendarmes,

nlim+wn= 0.

TS 8 Interrogation 2A : Correction 19 septembre 2017

Exercice 1 :

On d´efinit la suite (un) par u0 = 1 et pour tout entier naturel n > 0 par

un+1=un+ 2n+ 3.

Montrer que pour tout entier natureln,un>n2.

Solution: Pour tout entier naturel n, on appelle P(n) la pro- pri´et´e :un>n2.

Initialisation : u0= 1>0P(0) est vraie.

H´er´edit´e : Soit nun entier naturel tel queP(n) est vraie. Mon- trons queP(n+ 1) est vraie.

P(n+ 1) s’´ecrit :un+1>(n+ 1)2. Or

un+1=un+ 2n+ 3 .

Par hypoth`ese de r´ecurrenceun>n2 Doncun+ 2n+ 3>n2+ 2n+ 3

Orn2+ 2n+ 3 = (n+ 1)2+ 2>(n+ 1)2Doncun+16(n+ 1)2 DoncP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e, doncP(n) est vraie pour tout entier natureln.

En d´eduire la limite deu.

Solution: Pour tout entier naturel n, un < n2, par le th´eor`eme de comparaison, lim

n→+∞un= +∞.

Exercice 2 :

D´eterminer la limite des suites suivantes : 1. un= 2n2−3

n2−5n+ 3

Solution: Pour tout n 6= 0, un = n2 2−3n

n2 1−5n+n32

=

2−3n

1−5n+n32

.

lim 2− 3n = 2 et lim

n+ 1−n5+n32

= 1. Donc par quotient

nlim+= 2.

2. wn=cos(n) n .

Solution: Pour tout entier n, −1 6 cos(n) 6 1, donc −n1 6 cos(n)

n 6n1.

n→+∞lim

−1 n

= lim

n→+∞

1 n

= 0. Par le th´eor`eme des gendarmes,

n→+∞lim wn= 0.

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