TS 8 Interrogation 2A : Correction 19 septembre 2017 Exercice 1 :
On d´efinit la suite (un) par u0 = 1 et pour tout entier naturel n > 0 par
un+1=un+ 2n+ 3.
Montrer que pour tout entier natureln,un>n2.
Solution: Pour tout entier naturel n, on appelle P(n) la pro- pri´et´e :un>n2.
Initialisation : u0= 1>0P(0) est vraie.
H´er´edit´e : Soit nun entier naturel tel queP(n) est vraie. Mon- trons queP(n+ 1) est vraie.
P(n+ 1) s’´ecrit :un+1>(n+ 1)2. Or
un+1=un+ 2n+ 3 .
Par hypoth`ese de r´ecurrenceun>n2 Doncun+ 2n+ 3>n2+ 2n+ 3
Orn2+ 2n+ 3 = (n+ 1)2+ 2>(n+ 1)2Doncun+16(n+ 1)2 DoncP(n+ 1) est vraie.
Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e, doncP(n) est vraie pour tout entier natureln.
En d´eduire la limite deu.
Solution: Pour tout entier naturel n, un < n2, par le th´eor`eme de comparaison, lim
n→+∞un= +∞.
Exercice 2 :
D´eterminer la limite des suites suivantes : 1. un= 2n2−3
n2−5n+ 3
Solution: Pour tout n 6= 0, un = n2 2−3n
n2 1−5n+n32
=
2−3n
1−5n+n32
.
lim 2− 3n = 2 et lim
n→+∞ 1−n5+n32
= 1. Donc par quotient
n→+∞lim = 2.
2. wn=cos(n) n .
Solution: Pour tout entier n, −1 6 cos(n) 6 1, donc −n1 6 cos(n)
n 6n1.
n→lim+∞
−1 n
= lim
n→+∞
1 n
= 0. Par le th´eor`eme des gendarmes,
n→lim+∞wn= 0.
TS 8 Interrogation 2A : Correction 19 septembre 2017
Exercice 1 :
On d´efinit la suite (un) par u0 = 1 et pour tout entier naturel n > 0 par
un+1=un+ 2n+ 3.
Montrer que pour tout entier natureln,un>n2.
Solution: Pour tout entier naturel n, on appelle P(n) la pro- pri´et´e :un>n2.
Initialisation : u0= 1>0P(0) est vraie.
H´er´edit´e : Soit nun entier naturel tel queP(n) est vraie. Mon- trons queP(n+ 1) est vraie.
P(n+ 1) s’´ecrit :un+1>(n+ 1)2. Or
un+1=un+ 2n+ 3 .
Par hypoth`ese de r´ecurrenceun>n2 Doncun+ 2n+ 3>n2+ 2n+ 3
Orn2+ 2n+ 3 = (n+ 1)2+ 2>(n+ 1)2Doncun+16(n+ 1)2 DoncP(n+ 1) est vraie.
Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e, doncP(n) est vraie pour tout entier natureln.
En d´eduire la limite deu.
Solution: Pour tout entier naturel n, un < n2, par le th´eor`eme de comparaison, lim
n→+∞un= +∞.
Exercice 2 :
D´eterminer la limite des suites suivantes : 1. un= 2n2−3
n2−5n+ 3
Solution: Pour tout n 6= 0, un = n2 2−3n
n2 1−5n+n32
=
2−3n
1−5n+n32
.
lim 2− 3n = 2 et lim
n→+∞ 1−n5+n32
= 1. Donc par quotient
n→lim+∞= 2.
2. wn=cos(n) n .
Solution: Pour tout entier n, −1 6 cos(n) 6 1, donc −n1 6 cos(n)
n 6n1.
n→+∞lim
−1 n
= lim
n→+∞
1 n
= 0. Par le th´eor`eme des gendarmes,
n→+∞lim wn= 0.