TS 8 Interrogation 3A : Correction 4 octobre 2017 Exercice 1 :
D´eterminer lim
x→−∞
√x2−2
Solution: lim
x→−∞(x2−2) = +∞et lim
x→+∞
√x= +∞. Par composition,
x→−∞lim (x2−2) = +∞.
Exercice 2 :
D´eterminer lim x→2
x >2 x−3
−x+ 2
Solution: lim
x→2x−3 = −1 et lim x→2
x >2
−x+ 2 = 0−. Par quotient,
lim x→2 x >2
x−3
−x+ 2= +∞.
Exercice 3 :
Soitf la fonction d´efinie sur [−1; 0] parf(x) = 2x3−3x2−12x−4.
1. Montrer quef est strictement d´ecroissante sur [−1; 0].
2. Montrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solutionα sur [−1; 0]
3. Encadreαsur un intervalle d’amplitude 10−2.
Solution:
1. f0(x) = 6x2−6x−12. Le discriminant du polynˆome est ∆ = 36 + 4×6×12 = 182. Il y a donc deux solutions r´eelsx1=−1 et x2= 2. Le coefficient dominant est positif, doncf0(x) est n´egatif sur [−1; 2] et doncfest d´ecroissante sur [−1; 0].
2. Sur [−1; 0],f est continue, strictement croissante etf(0) =−4 et f(−1) = 3 donc 0 est compris entref(0) etf(−1).
3. `A la calculatrice, on aα∈[−0,38;−0,37].
TS 8 Interrogation 3A : Correction 4 octobre 2017
Exercice 1 : D´eterminer lim
x→−∞
√x2−2
Solution: lim
x→−∞(x2−2) = +∞et lim
x→+∞
√x= +∞. Par composition,
x→−∞lim (x2−2) = +∞.
Exercice 2 :
D´eterminer lim x→2
x >2 x−3
−x+ 2
Solution: lim
x→2x−3 = −1 et lim x→2
x >2
−x+ 2 = 0−. Par quotient,
lim x→2 x >2
x−3
−x+ 2= +∞.
Exercice 3 :
Soitf la fonction d´efinie sur [−1; 0] parf(x) = 2x3−3x2−12x−4.
1. Montrer quef est strictement d´ecroissante sur [−1; 0].
2. Montrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solutionα sur [−1; 0]
3. Encadreαsur un intervalle d’amplitude 10−2.
Solution:
1. f0(x) = 6x2−6x−12. Le discriminant du polynˆome est ∆ = 36 + 4×6×12 = 182. Il y a donc deux solutions r´eelsx1=−1 et x2= 2. Le coefficient dominant est positif, doncf0(x) est n´egatif sur [−1; 2] et doncfest d´ecroissante sur [−1; 0].
2. Sur [−1; 0],f est continue, strictement croissante etf(0) =−4 et f(−1) = 3 donc 0 est compris entref(0) etf(−1).
3. `A la calculatrice, on aα∈[−0,38;−0,37].
