Exercice 1. D´ eterminer les extrema locaux de la fonction f : R → R , x 7→ x 4 − x 3 + 1.

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2013/2014

Licence Informatique L1 Analyse

Feuille d’exercices 6

Exercice 1. D´ eterminer les extrema locaux de la fonction f : R → R , x 7→ x ⁴ − x ³ + 1.

Exercice 2.

a) D´ eterminer l’image de l’intervalle [−2, 4] par la fonction f : R → R , x 7→ x ³ − 6x + 1.

b) D´ eterminer l’image de l’intervalle [−3, 5] par la fonction f : R → R , x 7→ x ³ − 15x + 2.

Exercice 3. On consid` ere la fonction d´ erivable

f : [3, 4] → R , x 7→ √ x.

a) Montrer que pour tout x ∈ [3, 4] on a 1

4 ≤ f ⁰ (x) ≤ 1 2 √

3 .

b) Utiliser l’in´ egalit´ e des accroissements finis pour donner un encadrement de √ 3.

Exercice 4. On consid` ere une fonction f : [2, 5] → R qui est d´ erivable. Supposons que f (2) = 3 et

−3 ≤ f ⁰ (x) ≤ 1 ∀ x ∈ [2, 5].

a) Montrer que

−6 ≤ f (x) ≤ 6 ∀ x ∈ [2, 5].

b) Supposons en plus que f (5) = 2. Am´ eliorer l’encadrement de f obtenu dans la question a).

Exercice 5. Soit f : R >0 → R une fonction d´ erivable. On suppose que lim _x→∞ f ⁰ (x) = l.

Montrer que la fonction ^f(x) _x converge quand x tend vers l’infini et

x→∞ lim f(x)

x = l.

Exercice 6. Utiliser la r` egle de l’Hospital pour calculer les limites suivantes : a) lim _x→0 ^−2x _4x

_+2x ^−5x

b) lim x→∞ −2x

−5x 4x

+2x

c) lim _x→0 ^sin _x ^x

d) lim _x→∞ x log ( ^x+1 _x−1 ) e) lim _x→0 ^x−sin _{x sin x} ^x

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